Читать онлайн «Парадоксы теории множеств»

Н а у ч н о - р е д а к ц и о н н ы й с о в е т с е р и и: В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский (гл. ред. ), А. В. Спивак, В. М. Тихомиров, И. В. Ященко. Серия основана в 1999 году. Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 20 И. В. Ященко ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Второе издание, стереотипное Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2009 УДК 510. 2 ББК 22. 12 Я97 Аннотация При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, пара- докс брадобрея, формулируемый следующим образом: Бреет ли себя брадобрей, если он бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет? В брошюре рассказывается о том, как теория множеств обхо- дится с подобными ситуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора. В частно- сти, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два. В приложении 3 приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале брошюры. Текст брошюры представляет собой обработанные записи лек- ций, прочитанных автором 8 апреля 2000 года на Малом мехмате для школьников 9—11 классов (запись Е. Н. Осьмовой) и в ию- ле 2001 года в рамках летней школы «Современная математика» для школьников 10—11 классов и студентов 1—2 курса (запись Ю. Л. Притыкина). Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересу- ющихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей. Первое издание книги вышло в 2002 году. ISBN 978-5-94057-500-9 © Ященко И. В. , 2009. © МЦНМО, 2009. Ященко Иван Валериевич. Парадоксы теории множеств. (Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“»). 2-е изд. — М. : МЦНМО, 2009. — 40 с. : ил. Редактор Ю. Л. Притыкин. Техн. редактор П. М. Юрьев. Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 18/III 2009 года. Формат бумаги 60 ( 84 1/16 . Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 2,50. Усл. печ. л. 2,44. Уч. -изд. л. 2,31. Тираж 2000 экз. Заказ . Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Бол. Власьевский пер. , 11. Тел. (499) 241 74 83. Отпечатано по CtP-технологии в ОАО «Печатный двор» им. А. М. Горького. 197110, Санкт-Петербург, Чкаловский проспект, 15. ЧТО ТАКОЕ МНОЖЕСТВО? Когда мы собираемся что-то изучать, возникает потребность очертить круг объектов, с которыми мы будем работать: например, «Возьмём всех учеников 9-го класса…», «Рассмотрим все вершины треугольника…», «Рассмотрим все буквы русского алфавита…». Собственно, именно это множеством и называется: множество — это коллекция (совокупность) объектов, определённая некоторым правилом1 . Можно представлять 1 Хотя на самом деле никто толком и себе множества коробками, в ко- не знает, что такое множество.