Читать онлайн «Элементы теории линейных пространств. Учебное пособие»

a 21 a 22 § 2. Определители третьего порядка. Рассмотрим квадратную матрицу (таблицу) третьего порядка ⎛ a 11 a 12 a 13 ⎞ ⎜ ⎟ (1) A = ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ . ⎜a ⎟ ⎝ 31 a 32 a 33 ⎠ Если в этой матрице вычеркнуть любую строку и любой столбец, то ос- тавшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Из квадратной матрицы третьего порядка можно получить девять квадратных матриц второго порядка. Введём несколько новых понятий. 7  Определение 1. Минором элемента a ij матрицы третьего порядка называют определитель матрицы второго порядка, которая получается из данной матрицы вычёркиванием i -ой строки и j -го столбца, т. е. строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор элемента a ij обозначается символом M ij . Например, минором элемента a 12 матрицы (1) является определитель a a 23 M 12 = 21 . (2) a 31 a 33 Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента a ij мат- рицы третьего порядка называют число, равное произведению минора это- го элемента на ( −1)i + j . Иначе: алгебраическое дополнение элемента a ij - это минор, если сумма индексов i + j чётная, и минор, взятый с противоположным знаком, если сумма индексов i + j нечётная. Алгебраическое дополнение элемента a ij обозначается A ij , т. е. по определению A ij = ( −1)i + j M ij . Пример 1. Вычислить алгебраические дополнения A 12 и A 31 матрицы ⎛ 1 3 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 2 1 ⎟. ⎜ −3 − 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ Имеем 0 1 3 −1 A 12 = ( −1)3 = −3 ; A 31 = ( −1)4 = 5. −3 0 2 1 Замечание. Можно говорить также о минорах и алгебраических до- полнениях элементов матрицы второго порядка, если под определителем матрицы, состоящей из одного элемента (матрицы первого порядка), пони- мать число, равное этому элементу. Определение 3. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка) называем число, равное сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Т. е. по определению имеем ⎛ a 11 a 12 a 13 ⎞ ⎜ ⎟ det A = ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ = a 11A 11 + a 12A 12 + a 13A 13 . (3) ⎜a ⎟ ⎝ 31 a 32 a 33 ⎠ 8  Пример 2.