Читать онлайн «Математическая теория экономической динамики и равновесия»

При изучении моделей равновесия (так же, как и в теории игр) используется топологический аспект теории этих отображений (в частности, теорема Какутани). Для исследования моделей динамики потребовалось рассмотреть специальный класс отображений, которые в этой книге названы суперлинейными. Теория суперлинейных точечно- множественных отображений представляет, по-видимому, и самостоятельный интерес. Эта теория излагается в первой главе. Главы II — IV посвящены моделям экономической динамики. Подробно изучены свойства оптимальных траекторий этих моделей. Эти свойства описываются теоремами о характеристике (наличии двойственных оценок) и теоремами о магистрали (об асимптотике траекторий). В главе V формулируются и исследуются модели равновесия. Основное внимание уделено теореме о существовании состояния равновесия в модели Эрроу — Дебре и некоторых ее обобщениях. 8 ПРЕДИСЛОВИЕ Наконец, в главе VI результаты, полученные ранее, применяются для исследования модели экономической динамики, в которой явно учтено потребление. Исследуются асимптотика и характеристика оптимальных траекторий и указывается связь этих траекторий с так называемыми равновесными траекториями. Некоторые разделы книги были прочитаны нами на спецкурсах в Новосибирском государственном университете. При написании книги мы ориентировались на читателя, владеющего некоторой математической культурой и хорошо знающего теорию конечномерных пространств, точнее говоря, конечномерный линейный анализ. Заметим, впрочем, что глубокие результаты теории линейных операторов (матриц) в книге, как правило/не используются. Необходимые для понимания книги и не общеизвестные сведения из конечномерного выпуклого анализа изложены без доказательств в § 1. При изложении некоторых вопросов не удалось обойтись без привлечения сведений из функционального анализа. Соответствующие места в книге набраны петитом. В книге принята автономная нумерация формул, теорем, предложений и лемм. Они нумеруются с помощью двойного индекса, первая часть которого указывает номер параграфа, а вторая — номер формулы или соответствующего утверждения в этом параграфе. Многие результаты, вошедшие в эту книгу, неоднократно обсуждались на семинаре по математической экономике Института математики СО АН СССР. Эти обсуждения во многом способствовали улучшению книги. Мы признательны всем участникам этого семинара. Мы глубоко благодарны Л. В. Канторовичу за постоянную помощь и внимание к нашей работе. Авторы ВВЕДЕНИЕ 1. Место в разделах прикладной математики. В последние два десятилетия бурно развивается математический аппарат для изучения экономических и общественных явлений. Линейное и нелинейное (и вообще математическое) программирование, теория игр, теория графов, теория процессов оптимального управления, моделирование и «симулирование» на ЭВМ и др. сформировались за эти два десятилетия в самостоятельные крупные разделы прикладной математики. По каждому из них в настоящее время насчитывается по нескольку монографий, учебников и справочников, сотни научных статей.