Читать онлайн «Алгебра и начала математического анализа. 10 кл. Ч.1»

Мы в основном будем говорить о делимости во множестве натуральных чисел. Опираясь на сформулированное определение, можно получить ряд свойств отношения делимости на множестве натуральных чисел. Этих свойств довольно много, некоторые мы докажем, некоторые предложим доказать вам. Сначала рассмотрим блок простейших свойств (свойства 1—8). 6 QeoucmeQ-L· Если al с и clb, то а I b. Например, из того, что 48 : 6 и 6 : 3, можно сделать вывод, что 48 13. Слпйптво 2. Если alb и с lb, то (а + с)': Ь. Например, из того, что 12 ! 3 и 21 · 3, можно сделать вывод, что (12 + 21)! 3. Гапйство 3. Если а\Ъ и с не делится на Ь, то (а + с) не делится на Ъ. Например, из того, что 12 : 3 и 22 не делится на 3, можно сделать вывод, что (12 + 22) не делится на 3. В то же время из того, что каждое слагаемое не делится на Ь, нельзя сделать вывод, что и сумма не делится на Ъ. Например, 14 не делится на 3, 22 не делится на 3, но (14 + 22)! 3. Свойства 2 и 3 распространяются на сумму любого конечного числа слагаемых следующим образом: если каждое слагаемое делится на число Ь, то и сумма делится на Ъ; если каждое слагаемое, кроме одного, делится на Ь, то сумма не делится на Ъ. Свойство 4. Если alb и (а + c)lb, то с\Ъ. Например, из того, что 12 · 3 и (12 + 21) · 3 можно сделать вывод, что 21: 3. Свойство 5. Если а\Ъ1и с\Ъ2, то ас \ ЬгЬ2. Например, из того, что 12:3 и 28: 7, можно сделать вывод, что (12 - 28) ■ (3 ■ 7). Свойство 6. Если alb и с — любое натуральное число, то ас · be; если ас : be, то а ! Ь. Например, из того, что 12 · 3, можно сделать вывод, что (12 · 5)! (3 · 5) и обратно. Свойство 7. Если alb и с — любое натуральное число, то ас lb. Например, из того, что 12 · 3, можно сделать вывод, что (12 · 5) · 3. Следует заметить, что свойство, обратное свойству 7, не имеет места: из того, что ас I b, нельзя сделать вывод, что или а, или с делится на Ь. Например, 45 :15 и 45 = 9 · 5, но ни 9, ни 5 не делятся на 15. Свойство 8. Если alb и с lb, то для любых натуральных чисел η и k справедливо соотношение (an + ck) I b. Например, из того, что 12 : 3 и 21 · 3, можно сделать вывод, что (25 - 12 + 271 · 21) ■ 3. 7 Доказательства свойств 1—8. 1. Отношение а \ с означает, что существует натуральное число ql9 такое, что выполняется равенство а = cq1. Отношение с \ Ь означает, что существует натуральное число q2 такое, что выполняется равенство с = bq2. Следовательно, a = cql = (bq2)q1 = b(q2q^. Обозначим натуральное число q2qx буквой q. Тогда получим: а = bq, т. е. а: Ь. 2. Так как а \ Ь, то существует число q1 такое, что выполняется равенство a = bq1. Так как с: Ъ, то существует число q2 такое, что выполняется равенство с - bq2. Тогда а + с = bqx + bq2 = - b(Qi + #2)· Обозначим число qx + q2 буквой q. Тогда получим, что а + с = bq9 т. е. (а + с)\ Ъ. 3. Предположим противное, что (а + с): Ъ. Тогда а + с = bq2, а из а : Ъ следует, что a = bql9 при этом q2 > qx. Значит, с = bq2- a = = bq2 - bq1 = b(q2 - qx). Это означает, что с ! Ь. Но, по условию, с не делится на Ь. Получили противоречие, следовательно, наше предположение неверно, и а + с не делится на Ь. 4.