Читать онлайн «Особые варианты метода тригонометрических сумм»

И. М. ВИНОГРАДОВ ОСОБЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ И. М. ВИНОГРАДОВ ОСОБЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ (ГШ \^у ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛШ ЕРАТУРЫ МОСКВА 1970 517. 1 В 49 УДК 511. 2 Особые варианты метода тригонометрических сумм. И. М. Виноградов, изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1976. В книге рассматриваются центральные проблемы аналитической теории чисел, решающая роль в исследовании которых принадлежит специальным вариантам известного метода автора, изложенного в монографии «Метод тригонометрических сумм в теории чисел». Эти варианты и сами являются мощным средством решения широкого круга задач теории чисел. Книга будет полезна студентам, аспирантам и научным работникам, желающим серьезно заниматься теорией чисел. Библ. 28 назв. Рис. 2. 20203-059 В 36-76 © Главная редакция физико математической 05о (02)-7о литературы издательства «Наука», 1976 Оглавление Обозначения 4 Введение . 5 Глава 1. О числе целых точек в области трех измерений ... 10 Глава 2. Оценка G (п) в проблеме Варингя ... . 40 Глава 3. Приближения дробными частями значений целого многочлена 52 Глава 4. Оценки простейших сумм по простым числам 60 Глава 5. Асимптотическая формула в тернарной проблеме Гольдбаха . . 94 Глава 6. Об одном элементарном варианте метода тригонометрических сумм 104 Литература 118 Обозначения Предполагается, что читатель хорошо знаком с текстом книги ^ и с помещенными гам обозначениями. Кроме того, будем пользоваться следующими обозначениями: С — постоянное число. с —положительное постоянное число. 8 —произвольно малое положительное постоянное число, меньшее единицы. б —число с условием |б | ^ 1 При положительном В символическое неравенство А <^ В показывает, что при некотором с имеем | А | ^ сВ. При положительных А и В то же самое показывает и символическое неравенство В ;> А. При вещественном h символ (h) обозначает расстояние от h до ближайшего целого числа, т. е. min({/z}, 1 — {/*}). Символ 2j обозначает сумму, распространенную на точно ука- а зываемые при этом значения а. Знак ; между двумя формулами читается словом где. Введение Найденный мною в 1934 г. новый метод в аналитической теории чисел в дальнейшем быстро совершенствовался параллельно с расширением области его применения. В простейших вариантах этого метода существенную роль играли оценки сумм вида 22£(и)ч(*)ф(«. о), (1) Q где ф(и, v) = e2nif(u'v) с вещественной f{u,v) (в качестве Ф (и, v) могут рассматриваться и функции некоторых других видов). Двойное же суммирование распространяется на целые точки заданной области Q. Именно таким путем в 1934 г. я добился решающего сдвига в проблеме Варинга, получив вместо прежнего G(n) = 0(n2n) новый результат G(n) = 0(nlnn) (известно, что получить результат, лучший чем G(n) = 0(n), уже нельзя). В том же году я добился значительного успеха и в другом вопросе —в проблеме о числе целых точек в области трех измерений, в частности, в асимптотической формуле T=V-\-R, выражающей число Т целых точек шара x2 + y2-{-z2^a2 через его объем V; вместо прежнего R = О \ а?) я получил новый результат R = = 0(а1'4+8) (в 1963 г.