Читать онлайн «Математические методы классической механики»

В. И. Арнольд МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Книга отличается от имеющихся учебников механики большей, чем это обычно принято, связью с современной математикой. Особенное внимание обращено на взаимно обогащающее взаимодействие идей механики и геометрии многообразии. В соответствии с таким подходом центральное место в книге занимают не вычисления, а геометрические понятия (фазовые пространства и потоки, векторные поля, группы Ли) и их приложения в конкретных механических ситуациях (теория колебаний, механика твердого тела, гамильтонов формализм). Много внимания уделено качественным методам изучения движения в целом, в том числе асимптотическим (теория возмущений, методы осреднения, адиабатические инварианты). Для студентов университетов и вузов с расширенной программой по математике, а также преподавателей и научных работников. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию 6 Ив предисловия к первому изданию 9 ЧАСТЬ I НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА Глава 1. Экспериментальные факты И § 1. Принципы относительности и детерминированности 11 § 2. Галилеева группа и уравнения Ньютона 12 § 3. Примеры механических систем 18 Глава 2. Исследование уравнений движения 21 § 4. Системы с одной степенью свободы 21 § 5. Системы с двумя степенями свободы 26 § 6. Потенциальное силовое поле 30 § 7. Кинетический момент 32 § 8. Исследование движения в центральном поле 34 § 9. Движение точки в трехмерном пространстве 42 § 10. Движение системы п точек 44 § 11. Соображения подобия 50 ЧАСТЬ II ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА Глава 3. Вариационный принцип 52 § 12. Вариационное исчисление 53 § 13. Уравнения Лагранжа 56 § 14. Преобразование Лежандра 59 § 15. Уравнения Гамильтона 61 § 16. Теорема Лиувилля 64 Глава 4. Лагранжева механика на многообразиях 70 § 17. Голономные связи 70 § 18. Дифференцируемые многообразия 72 § 19. Лагранжева динамическая система 77 § 20. Теорема Нётер 81 § 21. Принцип Даламбера 84 Глава 5. Колебания 90 § 22. Линеаризация 90 § 23. Малые колебания 94 § 24. О поведении собственных частот 99 § 25. Параметрический езонанс 102 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 6. Твердое тело Ш § 26. Движение в подвижной системе координат 111 § 27. Силы инерции. Сила Кориолиса 115 § 28. Твердое тело 119 § 29. Уравнения Эйлера. Описание движения по Пуансо 127 § 30. Волчок Лагранжа 131 § 31. Спящий волчок и быстрый волчок 136 ЧАСТЬ III ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА Глава 7. Дифференциальные формы 142 § 32. Внешние формы 143 § 33. Внешнее умножение 148 § 34. Дифференциальные формы 152 § 35. Интегрирование дифференциальных форм 158 § 36. Внешнее дифференцирование 164 Глава 8. Симпл оптические многообразия 175 § 37. Симплектическая структура на многообразии 175 § 38. Гамильтоновы фазовые потоки и их интегральные инвари- инварианты 177 § 39. Алгебра Ли векторных полей 181 § 40. Алгебра Ли функций Гамильтона 187 § 41. Симплектическая геометрия 191 § 42. Параметрический резонанс в системах со многими степеня- степенями свободы 197 § 43. Симплектический атлас 201 Глава 9. Канонический формализм 205 § 44.