Читать онлайн «Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть 2. Тридцать пять лекций»

Дмитрий Письменный КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 2 часть Дмитрий Письменный КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 2 часть 7-е издание МОСКВА АЙРИС ПРЕСС 2011 УДК 517(075. 8) ББК 22. 1я73-2 П35 Все права защищены. Никакая часть данной книги не может переиздаваться или распространяться в любой форме и любыми средствами, электронными или механическими, включая фотокопирование, звукозапись, любые запоминающие устройства и системы поиска информации, без письменного разрешения правообладателя. Серийное оформление А. М. Драговой Письменный, Д. Т. П35 Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч. ]. Ч. 2 / Дмитрий Пись- менный. — 7-е изд. — М. : Айрис-пресс, 2011. — 256 с: ил. — (Высшее образование). ISBN 978-5-8112-4125-5 (Ч. 2) ISBN 978-5-8112-4000-5 Данный курс лекций адресован учащимся высших учебных заведений, изучающим математику на различных отделениях. Вторая часть содержит необходимый материал по девяти разделам курса высшей математики: дифференциальные уравнения, двойные и тройные, криволинейные и по- верхностные интегралы, числовые и степенные ряды, ряды Фурье, элементы теории поля и теории функций комплексного переменного, элементы операционного исчисления. Теория, изложенная в пособии, проиллюстрирована большим количеством примеров и задач, что позволит студентам эффективно подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов. УДК 517(075. 8) ББК22. 1я73-2 ISBN 978-5-8112-4125-5 (Ч. 2) © ООО «Издательство ISBN 978-5-8112-4000-5 «АЙРИС-пресс», 2002 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 8 Глава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 9 1. 1. Основные понятия 9 1. 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ... 9 § 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 11 2. 1. Основные понятия 11 2. 2. Уравнения с разделяющимися переменными 13 2. 3. Однородные дифференциальные уравнения 15 2. 4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли 18 2. 5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 21 2. 6. Уравнения Лагранжа и Клеро 25 § 3. Дифференциальные уравнения высших порядков 26 3. 1. Основные понятия 26 3. 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 28 3. 3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков 31 3. 4. Линейные однородные ДУ второго порядка 32 3. 5. Линейные однородные ДУ n-го порядка 34 § 4. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 36 4. 1. Интегрирование Л ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 36 4. 2. Интегрирование Л ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами 38 § 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) 39 5. 1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка 39 5. 2. Метод вариации произвольных постоянных 40 5. 3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида 42 5. 4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (п > 2) с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида 46 § 6. Системы дифференциальных уравнений 47 6. 1. Основные понятия 47 6. 2. Интегрирование нормальных систем 49 6. 3.