Читать онлайн «Выпуклый анализ и его приложения»

Г. Г. Магарил-Ильяев В. М. Тихомиров ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ и его приложения / \ % ГГ. Магарил-Ильяев В. М. Тихомиров еышшый мшмы и его приложения Издание второе, исправленное УРСС Москва • 2003 ББК 22. 14, 22. 15 Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич Тихомиров Владимир Михайлович Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, исправл. УРСС, 2003. - 176 с. ISBN 5-354-00262-1 М. : Едиториал В книге излагаются основы выпуклого анализа — нового раздела математики, в котором переплетены элементы математического анализа и геометрии. Роль выпуклости в математике (особенно в проблемах оптимизации), естествознании, технике, экономике весьма значительна, и пришло время включить начала выпуклого анализа в математическое образование любого уровня. Книга призвана служить этой цели. В ней изложены начала выпуклого анализа и показаны его возможности в приложениях. Книга рассчитана на широкую читательскую аудиторию и может служить учебным пособием по курсам оптимизации, геометрии и прикладным дисциплинам различного профиля. Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9. Лицензия ИД No 05175 от 25. 06. 2001 г. Подписано к печати 11. 11. 2002 г. Формат 60x84/16. Печ. л. 11. Зак. № 65. Отпечатано в типографии ООО «Рохос». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9. Г. Магарил-Ильяев» В. М. Тихомиров, 2000, 2002 Едиториал УРСС, 2002 Оглавление Предисловие 5 Введение 6 Глава I. Теория 21 1. Начала выпуклого анализа 21 1. 1. Локально выпуклые пространства и двойственность ... . 21 1. 2. Выпуклые множества и функции 25 1. 3. Теоремы отделимости 35 1. 4. Двойственность выпуклых функций 39 1. 5. Субдифференциальное исчисление 42 2. Выпуклые экстремальные задачи 53 2. 1. Условия экстремума 53 2. 2. Двойственность выпуклых экстремальных задач 60 3. Конечномерная выпуклая геометрия 65 3. 1. Жесткость выпуклых многогранников 65 3. 2. Теоремы Каратеодори, Радона и Хелли 68 3. 3. Теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника 71 3. 4. Формулы Коши и Штейнера—Минковского 72 3. 5. Неравенство Брунна—Минковского, симметризация Штейнера и теорема Грюнбаума—Хаммера 74 3. 6. Симметризация по Брунну—Минковскому 74 3. 7. Некоторые дополнения 76 4. Алгоритмы выпуклой оптимизации 77 4. 1. Метод центрированных сечений 78 4. 2. Метод описанных эллипсоидов 79 4. 3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования 80 5. Выпуклый анализ и экстремальные задачи 82 5. 1. Принцип Лагранжа для гладко-выпуклых задач 82 5. 2. Ляпуновские задачи 85 4 Оглавление Глава II. Приложения 89 6. 1. Критерии элементов наилучшего приближения; полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля 89 6. 2. Неравенства и выпуклый анализ 100 6. 3. Линейные функционалы на пространстве полиномов ... 104 6. 4. Неравенства для производных колмогоровского типа ... ПО 6. 5. Оптимальное восстаноачение линейных функционалов на классах гладких и аналитических функций 125 6. 6.