Читать онлайн «Онтология математики. Объекты и структуры»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА А. Н. КОЛМОГОРОВ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ <0 ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1974 517. 2 К 60 УДК 519. 2 Основные понятия теории вероятностей. Колмогоров А. Н. , Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1974. Книга, изданная в 1933 г. на немецком языке и в 1936 г. на русском, несколько раз переиздавалась в английском переводе. Хотя значительная часть ее содержания включена в учебники, она сохраняет интерес для лиц, занимающихся обстоятельно теорией вероятностей. Основной текст переиздается лишь с небольшой редакционной правкой. Библ. — 25 назв. © Издательство «Наука», 1974. 20203 - 053 К 053(01)-74 /(V73 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие к первому изданию . »,». . 5 Предисловие ко второму изданию 7 I. Элементарная теория вероятностей § 1. Аксиомы ♦ 10 § 2. Отношение к данным опыта 12 § 3. Терминологические замечания 14 § 4. Непосредственные следствия из аксиом, условные вероятности, теорема Байеса 15 § 5. Независимость 17 § 6. Условные вероятности как случайные величины; цепи Маркова 23 II. Бесконечные поля вероятностей § 1. Аксиома непрерывности 26 § 2. Борелевские поля вероятностей 29 § 3. Примеры бесконечных полей вероятностей ... . 31 III. Случайные величины § 1. Вероятностные функции 30 § 2. Определение случайных величин, функции распре- делення 38 § 3. Многомерные функции распределения 41 § 4. Вероятности в бесконечномерных пространствах 44 § 5. Эквивалентные случайные величины, разные виды сходимости 52 IV. Математические ожидания § 1. Абстрактные интегралы Лебега 57 § 2. Абсолютные и условные математические ожидания 60 § 3. Неравенство Чебышева 63 § 4. Некоторые признаки сходимости 65 § 5. Дифференцирование и интегрирование математических ожиданий по параметру 66 1* 4 СОДЕРЖАНИЕ V. Условные вероятности и математические ожидания § 1. Условные вероятности 70 § 2. Объяснение одного парадокса Бореля 75 § 3. Условные вероятности относительно случайной величины 76 § 4. Условные математические ожидания 78 VI. Независимость. Закон больших чисел § 1. Независимость 83 § 2. Независимые случайные величины 85 § 3. Закон больших чисел 88 § 4. Замечания к понятию математического ожидания 100 § 5. Усиленный закон больших чисел, сходимость рядов 104 Дополнение. Одна замечательная теорема теории вероятностей ... . 116 Литература ... ,. ,♦. ,... . 118 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Целью предлагаемой работы является аксиоматическое обоснование теории вероятностей. Ведущей мыслью автора было при этом естественное включение основ теории вероятностей, считавшихся еще недавно совершенно своеобразными, в ряд общих понятий современной математики. До возникновения лебеговой теории меры и интеграла эта задача была почти безнадежна. После исследований Лебега стала ясной аналогия между мерой множества и вероятностью события, а также между интегралом от функции и математическим ожиданием случайной величины. Эта аналогия допускает и дальнейшее продолжение: так, например, многие свойства независимых случайных величин вполне аналогичны соответствующим свойствам ортогональных функций.