Читать онлайн «Концепции современной математики»

И. Плужниковой (предисловие гл. 1—5, 9—14, 16—20, примечания, указатель) и Г. М. Цу керман (гл. 6—8, 15); предисловие к русскому изданию Э. И, Зверовича, д-ра физ. -мат. В ней автор на конкрет- конкретных математических объектах и в популярной форме излагает основные понятия, а также некоторые идеи и методы современ- современной математики. Книга состоит из 20 небольших глав, первая из которых имеет характер введения и посвящена общим во- вопросам методологии математики (абстрактность и общность, интуиция и формализм, цели математики, ее полезность и дру- другие). В остальных 19 главах книги рассматриваются более кон- конкретные вопросы. Во второй главе автор обсуждает геометри- геометрические преобразования (в основном, движения) и показывает их роль при доказательстве геометрических теорем. В следу- следующей главе рассматривается арифметика вычетов и некоторые ее теоретико-числовые приложения. Глава 4 посвящена изло- изложению теоретико-множественного языка и элементов алгебры Шожеств. В главе 5 обсуждается общее понятие отображения (функции) и связанная с ним терминология. Две следующие лавы посвящены элементам общей алгебры. Здесь вводятся понятия кольца и поля, приводятся примеры и даются интерес- интересные приложения. Понятие группы и элементы теории групп ^бсуждаются на примере групп симметрии, демонстрируются методы теории групп, позволяющие классифицировать группы с точки зрения изоморфизма. В главе 8 на геометрическом ма- материале обсуждается аксиоматический метод в математике, рас- рассматриваются понятия непротиворечивости, независимости и полноты систем аксиом. В следующей главе рассматривается понятие мощности конечных и бесконечных множеств, устанав- устанавливается существование трансцендентных чисел. Главы 10— Н посвящены популярному изложению топологии. Обсуждает- Обсуждается топологическая эквивалентность, топологические теоремы существования, теорема Эйлера о многогранниках и ее прило- жения к теории графов и к проблеме четырех красок. Дале- ] Ч!1га рассматриваются топологические инварианты поверхностей дт'о , эйлерова характеристика и свойство ориентируемости, на это! ТуДе основе дается топологическая классификация конечных поверх ся сс ностей. Затем автор переходит к элементам алгебраически" репс топологии. Вводится понятие гомотопных путей, гомотопических классов, фундаментальной группы топологического простран- пространства, показывается ее топологическая инвариантность, рассма- рассматриваются примеры на вычисление фундаментальных групп Цокт Рассмотрены также формула Эйлера для пространств высши.