Читать онлайн «Арифметика»

ВЫПУСК Библиотечка КВАМТ А. В. СПИВАК Ш Р П ВТНТУМ библио1ечка Приложение к журналу КВАНТ «Квант» № 4/2007 ВЫПУСК 1 А. В. СПИВАК АРИФМЕТИКА Москва 2007 УДК 511. 3(082) ^ с< С«РИЯ ггт/ оо ПЛ \^W), 4Библиотечка 4Квант» ББК 22. 130 %£. основана в 1980 г. РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ! Б. М. Болотовский, А. А. Варламов, В. Л. Гинзбург, Г. С. Голицын, Ю. В. Гуляев, М. И. Каганов, С. С. Кротов, С. П. Новиков, Ю. А. Осипьян (председатель), В. В. Произволов, Н. Х. Розов, А. Л. Стасенко, В. Г. Сурдин, В. М. Тихомиров, А. Р. Хохлов, А. И. Черноуцан (ученый секретарь) С72 Спитак А. В. Арифметика. - М. : Бюро Квантум, 2007. — 160 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 102. Приложение к журналу «Квант» № 4/2007. ) ISBN 5-85843-067-8 Книга по элементарной теории чисел состоит из статей, многие из которых были опубликованы в журнале "Квант". Алгоритм Евклида, основная теорема арифметики, ряды Фарея, периодические дроби, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, цепные дроби, квадратичный закон взаимности изучены весьма подробно, с большим количеством примеров и упражнений. Может служить учебным пособием для математических классов и кружков. Адресована школьникам 7-11 классов, учителям, а также всем любителям математики. ББК 22. 130 ISBN 5-85843-067-8 © Бюро Квантум, 2007 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 4 Индукция 5 Арбузная пошлина 18 Алгоритм Евклида 22 Основная теорема арифметики 35 Ряды Фарея 38 Периодические дроби 41 Малая теорема Ферма 54 Часть I. Примеры и три доказательства 54 Часть П. Функции Эйлера 63 Часть III. Длины периодов 75 Часть IV. Первообразные корни 87 Часть V. Функция и числа Кармайкла 93 Числа Фибоначчи 99 Цепные дроби 111 Квадратичный закон взаимности 130 Ответы, указания, решения 138 ПРЕДИСЛОВИЕ В книгу вошли некоторые статьи журнала «Квант» и энциклопедии «Числа и фигуры» издательства «Росмэн». Столь глубоких, подробных и доступных школьнику изложений многих важных разделов арифметики до сих пор не было: речь пойдет о малой теореме Ферма, числах Фибоначчи, квадратичном законе взаимности. Конечно, эти статьи не только не исчерпывают содержание современной науки о натуральных числах, но даже не дают представления о многих важнейших ее задачах и методах: за пределами этой книги остались как темы, которые невозможно изложить элементарно (а таких в арифметике, как и в любом другом разделе математики, абсолютное большинство), так и некоторые интересные задачи и теоремы, доступные школьнику. Невозможно в небольшой книге изложить все секреты царицы математики (так называл арифметику К. Ф. Гаусс) - хотя бы потому, что многие из этих секретов еще только предстоит открыть (математика в последние 400 лет развивается в высшей степени бурно!). Каждая статья посвящена отдельной важной теме. Начинается изложение обычно с довольно простых вопросов, доступных семикласснику, а заканчивается довольно трудными - иной раз даже изысканными - темами. Поэтому эту книгу большинство школьников будут читать многократно, каждый раз продвигаясь дальше и дальше. Упражнений в книге очень много; скорее всего, при первом чтении удастся справиться лишь с небольшой долей упражнений: например, статьи «Периодические дроби» и «Малая теорема Ферма» - это целый мир, к которому надо очень долго привыкать!