Читать онлайн «Алгебра. Модули, кольца, формы»

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ Н. БУРБАКИ АЛГЕБРА МОДУЛИ, КОЛЬЦА, ФОРМЫ ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО Г. В. ДОРОФЕЕВА ПОД РЕДАКЦИЕЙ Ю. И. МАНИНА ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1966 517. 1 Б 91 УДК 512. 8 2-2-j 71-66 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава VII. Модули над кольцами главных идеалов 11 § 1. Кольца главных идеалов 11 1. Определение кольца главных идеалов 11 2. Делимость в кольцах главных идеалов 12 3. Разложение на экстремальные элементы в кольцах главных идеалов 15 4. Делимость целых рациональных чисел 16 5. Делимость многочленов от одного переменного над полем . 17 § 2. Модули кручения над кольцом главных идеалов 26 1. Модули кручения 26 2. Каноническое разложение модуля кручения над кольцом главных идеалов 27 3. Применения: I. Каноническое разложение рациональных чисел и рациональных дробей от одного переменного ... 31 4. Применения: II. Мультипликативная группа целых чисел по mod a 33 § 3. Свободные модули над кольцом главных идеалов 42 § 4. Модули конечного типа над кольцом главных идеалов 46 1. Конечные прямые суммы моногенных модулей 46 2. Инвариантные факторы подмодуля 50 3. Структура модулей конечного типа 53 4. Вычисление инвариантных факторов 55 5. Линейные отображения свободных модулей и матрицы над кольцом главных идеалов 56 6. Абелевы группы конечного типа 58 7. Неразложимые модули. Элементарные делители 59 § 5. Эндоморфизмы векторных пространств 71 1. Модуль, ассоциированный с эндоморфизмом 71 2. Эндоморфизмы векторных пространств над алгебраически замкнутым полем 76 3. Собственные значения и собственные векторы 79 4. Приведение к диагональному виду 83 5. Свойства характеристического многочлена; след и опреде- определитель 87 6 ОГЛАВЛЕНИЕ . 6. Характеристический многочлен тензорного произведения двух эндоморфизмов . . . . | 90 7. Применение: Нормальный базис циклического расширения 91 Приложение. Эндоморфизмы унитарных модулей 101 1. Модуль, ассоциированный с эндоморфизмом 101 2. Подобные эндоморфизмы 103 3. Применение к эндоморфизмам векторных пространств . . 105 Исторический очерк к главам VI и VII 108 Библиография 117 Глава VIII. Полупростые модули и кольца 119 § 1. Коммутирование 119 1. Проектирования 119 2. Коммутант и бикоммутант 122 3. Прямые множители и бикоммутанты 124 4. Предварительные замечания о коммутировании в изотшшых модулях 127 5. Коммутирование в изотипных модулях 129 § 2. Артиновы и нетеровы модули 136 1. Артиновы и нетеровы модули 136 2. Разложение модуля конечной длины на неразложимые модули 138 3. Артиновы и нетеровы кольца 141 § 3. Простые и полупростые модули 146 1. Простые модули 146 2. Классы простых модулей 149 3. Полупростые модули 149 4. Изотипные компоненты полупростых модулей 151 5. Длина полупростых модулей 153 § 4. Коммутант и бикоммутант полупростого модуля 157 1. Бикоммутант полупростого модуля 157 2. Теорема плотности 158 3. Коммутант простого модуля 160 4. Коммутант полупростого модуля 162 5. Применения: Устойчивые подмодули тензорных произве- произведений 163 § 5.