Читать онлайн «Статьи из журнала "Квант". Часть 2»

библиотечка Приложение к журналу КВАНТ «Квант»№2/2013 ВЫПУСК ш Н. Б. Васильев СТАТЬИ ИЗ ЖУРНАЛА «КВАНТ» Часть 2 Москва Издательство МЦНМО 2013 УДК 51(019) ББК 22. 1г В19 Серия «Библиотечка «Квант» основана в 1980 году Редакционная коллегия: Б. М. Болотовский, Л. А. Варламов, Г. С. Голицын, Ю. В. Гуляев, М. И. Каганов, С. С. Кротов, С. П. Новиков, В. В. Произволов, Н. Х. Розов, А. Л . Стасенко, В. Г. Сурдин, В. М. Тихомиров, А. Р. Хохлов, А. И. Черноуцан Васильев Н. Б. В19 Статьи из журнала «Квант». Часть 2. - М. : Издательство МЦНМО, 2013. - с. 160 (Библиотечка «Квант». Вып. 126. Приложение к журналу «Квант» №2/2013. ) ISBN 978-5-4439-0314-9 Книга представляет собой сборник статей одного из лучших авторов «Кванта» Н. Б. Васильева, опубликованных в журнале в разные годы. Статьи сборника посвящены самым разным разделам математики, их содержание иногда выходит за рамки школьной программы, но изложение доступно школьникам старших классов. Для учащихся и преподавателей средних школ, лицеев и гимназий, для руководителей и участников математических кружков, а также для всех, кто интересуется математикой. ББК 22. 1г ISBN 978-5-4439-0314-9 9,|785443И903149| ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ В этой статье мы обсудим полезную формулу, выражающую площадь многоугольника через координаты его вершин. При подготовке статьи использовано письмо А. Старце- ва, присланное в «Квант» в 1970 году. Комбинации трапеций Пусть дан многоугольник, расположенный в положительном квадранте л: > 0, ^ > 0 и к тому же выпуклый. Занумеруем его вершины против часовой стрелки: Ах(хх\ ух), А2(х2;у2), ···> как показано на рисунке 1, где число " Τ Ал вершин η = 5. Опустим из всех вершин перпендикуляры ΑλΗλ , Α2Η2 , ... , АпНп на ось х\ их длины равны Площадь трапеции AHkHk+\A+\ равна модулю произведения (г/^ + + %+l)(*A-*A+l)/2· Эт0 произведение положительно при xk > xk+i и отрицательно при xk < xk+i (здесь к - одно из чисел 1, 2, ... , я, причем следующий за η номер η + 1 надо заменить на 1). Замечательным образом оказывается, что сумма всех η таких однотипных произведений как раз равна площади многоугольника AxA2... AJl . Например, для пятиугольника на рисунке 1 из пяти произведений (г/1 + г/2)(*1-*2) (У2 + Уъ)(х2~хъ) (Уз + Уа)(^з ~*0 2 ' 2 ' 2 ' Рис. 1 {Уа+Уь){Ха ~ *5) (#>+Α)(*5-*ΐ) Статья написана в соавторстве с В. Гутенмахером. 3 три, соответствующие верхним сторонам (подчеркнутые), положительны, а два, соответствующие нижним сторонам, отрицательны; вычитая из суммы площадей трапеций, соответствующих верхним сторонам, сумму площадей трапеций, соответствующих нижним сторонам, найдем площадь пятиугольника. Полученную сумму можно несколько упростить, сократив произведения ххух, х2у2 »· · · 5=(й+У2)(*1-*2) , (#2+Ы(*2-*з) {Уъ+Уа){ХЪ-Ха) 2 2 2 {Уа+Уъ){ч-Хь) G/5 + ffi)(*5-*i) = + 2 2 = (*\Уг ~ Х2У\) + (*2#з ~ *з#2 ) + ■■■ + (*5№ ~ х\Уъ) 2 Упражнение 1. Выведите формулу площади выпуклого я-угольника при любом п. Основная формула Итак, площадь S выпуклого гг-угольника с вершинами Ak (xk; yk), k = 1, 2, . . , η, равна - [(χχy2 - x2yx) + (x2y3 - x3y2 ) + ... + (xnyx - xxyn)] . (1) Выражение ad - be так часто встречается в математике, что \а Ь\ для него принято специальное обозначение J и название «определитель второго порядка»; с помощью таких определителей формулу площади можно записать компактнее: S \х\х2 \У\У2 + х2х3 УгУъ + ... + ХпХ\\ УпУ\\ (Для запоминания формулы (1) удобен рисунок 2.