Читать онлайн «Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа»

УДК 517. 9 ББК 22. 162 П52 Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3. Книга посвящена изложению основ выпуклого анализа и сравнительно нового его направления — сильно выпуклого анализа. Роль понятия «выпук- «выпуклость» в математике (особенно в таких областях, как оптимизация и много- многозначный анализ), естествознании, технике, экономике весьма значительна. Помимо собственно выпуклого анализа рассматриваются его приложения. Часть этих приложений (например, свойства центра Штейнера) до сих пор слабо отражена в отечественной литературе. В рамках сильно выпуклого анализа изложены некоторые обобщения ре- результатов выпуклого анализа, а также новые результаты по аппроксимации множеств, многозначному анализу и геометрии. Для аспирантов и научных работников, по роду своей деятельности свя- связанных с выпуклым анализом и его приложениями, а также для студентов старших курсов университетов, изучающих выпуклый анализ. Ил. 19. Библиогр. 173 назв. © ФИЗМАТЛИТ, 2004 © Е. С. Половинкин, М. В. Балашов, ISBN 5-9221-0499-3 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 5 Глава 1. Выпуклый анализ 13 §1. 1. Некоторые понятия функционального анализа 13 § 1. 2. Выпуклые множества 24 § 1. 3. Метрика Хаусдорфа 33 § 1. 4. Касательные конусы 40 § 1. 5. Полунепрерывные снизу функции 49 § 1. 6. Выпуклые функции 52 § 1. 7. Непрерывность выпуклых функций 59 § 1. 8. Р-множества 68 § 1. 9. Теоремы об отделимости 79 § 1. 10. Теорема Хелли 93 § 1. 11. Сопряженные функции 97 § 1. 12. Двойственность Минковского 107 § 1. 13. Барьерный и рецессивный конусы 114 § 1. 14. Представление выпуклых множеств и функций в Rn 121 § 1. 15. Производная по направлениям 128 § 1. 16. Субдифференциал выпуклой функции 134 § 1. 17. Свойства субдифференциалов 149 § 1. 18. Крайние точки и лучи 161 § 1. 19. Выпуклость функции и гладкость ее сопряженной 171 Глава 2. Приложения выпуклого анализа 186 § 2. 1. Селекторы выпуклых множеств 186 § 2. 2. Параметризация многозначных отображений 201 § 2. 3. О максимумах выпуклых функций 208 § 2. 4. Задачи выпуклого и линейного программирования 211 § 2. 5. Симплекс-метод 221 § 2. 6. Приближения множеств и оценки 229 § 2. 7. Некоторые задачи теории приближений 241 § 2. 8. Непрерывность многозначных отображений 253 § 2. 9. Теорема Майкла 263 Оглавление § 2. 10. s-вариационный принцип Экланда 266 § 2. 11. О вложении множества выпуклых компактов в линейное пространство 273 Глава 3. Д-сильно выпуклые множества и функции в R71 ... 289 § 3. 1. Замечательное свойство шара в Rn 289 § 3. 2. Сохранение сильной выпуклости при линейных отображе- отображениях 295 § 3. 3. Я-сильно выпуклая оболочка множеств 297 § 3. 4. . R-сильно крайние точки 308 § 3. 5. Сильно выпуклые функции 316 § 3. 6. О новых липшицевых селекторах многозначных отображе- отображений 318 Глава 4. Порождающие множества. iVf-сильно выпуклые множества 324 § 4. 1. Определения. Опорный принцип 324 § 4. 2. Операции с порождающими множествами 328 § 4. 3.