Читать онлайн «Краткий очерк основ геометрии Лобачевского»

ПАШирокЪб КРАТКИЙ ОЧЕРК ОСНОВ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО <я~^И^ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ москва «наука» главная редакция физико-математической литературы 1983 22. 151. 2 Ш 64 УДК 513. 81 ШИРОКОВ П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачев» ского. — 2-е изд. — М. 5 Наука. Главная редакция физико-матема-» тической литературы, 1983, 80 с— 10 к. Книга представляет собой очень сжатое, но тщательно выполненное изложение основ геометрии Лобачевского, и ее можно рекомендовать для первого ознакомления с замечательной геометрической системой, носящей имя ее творца. Для понимания первых шести глав достаточно знания элементарной математики. Для лиц, желающих познакомиться с основами геометрии Лобачевского, в первую очередь школьников старших классов и преподавателей математики средней школы. 1-е издание выходило в 1955 г. 1702040000-119 Ш 053 (02)-83 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ••,••»•. » . • 8 Введение ... ... . . 7 Глава первая ПОСТУЛАТЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ЕВКЛИДА И ЛОБАЧЕВСКОГО И ИХ СВЯЗЬ С ВОПРОСОМ О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА И ВОПРОСОМ О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДОБНЫХ ФИГУР 1, Постулаты Евклида и Лобачевского 9 2, Сумма углов треугольника 10 3, Дефект треугольника и многоугольника . % 14 4, Вопрос о существовании подобных фигур 15 5, Абсолютная единица длины в геометрии Лобачевского 16 Глава вторая ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА 1. Определение параллельной прямой. Функция П(х) • . 17 2. Основное свойство параллелизма 19 3. Взаимность (симметрия) параллелизма • • 2q 4. Транзитивность параллелизма , . . • 22 5. Расходящиеся прямые , 24 Глава третья ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ. РАСХОДЯЩИХСЯ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ 1. Свойства функции П(л:) 24 2. Расстояния точек прямой линии от другой прямой » . . 27 3. Замечание . ,,... . ',. . 30 Глава четвертая ПУЧКИ ПРЯМЫХ И ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ В ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО 1. Три типа пучков прямых 31 2. Соответствующие точки относительно пучка прямых . . 33 3. Окружность, линия равных расстояний и предельная линия 34 4. Равенство (конгруэнтность) всех предельных линий ... 35 5. Предельные дуги и их измерение ... ... ... . 37 3 6. Отношение концентрических предельных дуг. Радиус кривизны пространства 39 7. Две вспомогательные формулы . . , . . 42 Глава пятая ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 1. Параллельные прямые в пространстве 44 2. Взаимное расположение прямой и плоскости 45 3. Взаимное расположение двух плоскостей 46 4. Связки плоскостей. Сфера, поверхность равных расстояний и предельная поверхность 48 5. Геометрия Евклида на предельной поверхности ... . 52 Глава шестая ВЫВОД ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ТРИГОНОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 1. Формулы для прямоугольного треугольника 55 2. Два свойства формул неевклидовой тригонометрии ... 61 3. Основная формула Лобачевского (функция П{х)) я . . 62 4. Замечание 63 Глава седьмая КРАТКИЙ ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШЕГО ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 1. Элементарная геометрия 63 2. Аналитическая и дифференциальная геометрия ... . 64 3. Вычисление площадей и объемов 66 Глава восьмая РАЗЛИЧНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО 1. Отображение плоскости на предельную поверхность , . 67 2. Интерпретация Бельтрами 72 3.