Читать онлайн «Азбука группового анализа»

Новое в жизни, науке, технике МАТЕМАТИКА КИБЕРНЕТИКА Подписная научно- популярная серия 8/1989 Н. X. Ибрагимов АЗБУКА ГРУППОВОГО АНАЛИЗА Издается ежемесячно с 1967 г. СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 § 1. Однопараметрические группы преобразований 4 § 2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями 14 § 3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу 24 § 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений 34 § 5. Фундаментальные решения уравнений математической физики как инвариантные решения 39 § 6. Короткое отступление о группе Галуа 42 Литература 44 Издательство «Знание» Москва 1989 ББК 22. 161 И 15 ИБРАГИМОВ Наиль Хайруллович — доктор физико-математи- физико-математических наук, лауреат Государственной премии, профессор МФТИ, ведущий научный сотрудник Института прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР, специалист по математической физике и групповому анализу дифференциальных уравнений. Редактор И. Г. ВИРКО Ибрагимов Н. X. И15 Азбука группового анализа. — М. : Знание, 1989. — 48 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 8). ISBN 5-07-000901-х 20 к. Групповой анализ служит для описания свойств дифференциальных урав- уравнений при помощи допускаемых групп преобразований. Он дает практические методы понижения порядка или полного интегрирования обыкновенных диффе- дифференциальных уравнений и построения отдельных классов точных решений линейных и нелинейных уравнений математической физики. Настоящая брошюра включает фрагменты курса лекций по групповому анализу, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. 1602070000 ББК 22. 161 ISBN 5-07-000901-х © Издательство «Знание», 1989 г. ВВЕДЕНИЕ Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направ- направление в работах выдающегося матема- математика XIX в. Софуса Ли A842—1899) и служил главной составной частью его важнейшего творения — теории непре- непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах диффе- дифференциальных уравнений — была практи- практически решена самим Ли, но не нашла ши- широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям еще ис- использовался его ранними последовате- последователями, позже исследования в этом направ- направлении прекратились, и надолго. Интерес к групповому анализу возро- возродил Л. В. Овсянников, показав в своих работах 1958—1962 гг. , что главное ору- орудие, которым пользовался Ли, — описа- описание свойств дифференциальных уравне- уравнений при помощи допускаемых групп — обнаруживает свою силу не только в во- вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расши- расширение области применений потребовало существенного углубления методов груп- группового анализа, разработки новых по- понятий и алгоритмов.