Читать онлайн «Математика для поступающих в вузы»

В ПОМОЩЬ АБИТУРИЕНТУ Г. ДОРОФЕЕВ М. ПОТАПОВ Н. РОЗОВ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ 4-е издание, стереотипное орофа Москва-2001 УДК 373. 161. 1:51 ББК 22. 1я729 Д69 Дорофеев Г. В. и др. Д69 Математика: Для поступающих в вузы: Пособие / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. X. Розов. — 4-е изд. , стереотип. — М. : Дрофа, 2001. — 672 с: ил. ISBN 5—7107—4980—X В пособии собран и систематизирован опыт приемных экзаменов в Московский университет. Однако книга может использоваться не только поступающими в МГУ, но и теми, кто собирается держать вступительные экзамены в любой институт, академию или университет. Поступающим в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов необходимо тщательно разобрать весь материал, тем, кто готовится к экзаменам в гуманитарные вузы, достаточно будет прорешать задачи по выбору. Пособие адресовано абитуриентам и учащимся старших классов. УДК 373. 161. 1:51 ББК 22. 1я729 ISBN 5—7107—4980—X © (XX) «Дрофа», 1996 Оглавление К читателю 5 Раздел I. Арифметика и алгебра 11 § 1. Общие замечания 11 A. Определения и теоремы 12 Б. Целые, рациональные и иррациональные числа 18 B. Логарифмы 29 Г. Прогрессии 38 Д. Уравнения и системы уравнений 52 Е. Метод математической индукции 65 § 2. Некоторые сведения о действительных числах 74 § 3. Графики функций 95 § 4. Текстовые задачи 126 § 5. Решение уравнений 170 § 6. Решение неравенств 203 § 7. Доказательство неравенств 233 Раздел II. Тригонометрия 264 § 1. Общие замечания 264 A. Определения тригонометрических функций 264 Б. Тригонометрические формулы 267 B. Решение простейших тригонометрических уравнений 276 § 2. Тригонометрические преобразования 284 § 3. Тригонометрические уравнения и системы ... . 300 Раздел III. Геометрия 334 § 1. Общие замечания 334 A. Определения и теоремы 335 Б. Чертеж в геометрической задаче 345 B. Доказательства в геометрии 366 Г. Геометрическое воображение 396 § 2. Геометрические решения задач 414 3 § 3. Аналитические решения задач 446 § 4. Прямые и плоскости в пространстве 475 § 5. Комбинации тел 504 § 6. Сечения многогранников 535 Раздел IV. Нестандартные задачи 556 § 1. Задачи, нестандартные по внешнему виду ... . 558 § 2. Задачи с параметрами 578 § 3. Задачи о квадратном трехчлене 604 Раздел V. О вступительных экзаменах по математике 618 § 1. Устный экзамен 618 § 2. Письменный экзамен 626 Ответы и указания к задачам 637 К читателю Математика уже давно стала основным аппаратом физики и техники. В последние годы математические методы исследования все настойчивее проникают в такие науки, как химия, биология, геология, экономика, лингвистика, педагогика, медицина, право, археология. Поэтому не удивительно, что на многих, в том числе и гуманитарных, факультетах университетов, во всех технических и экономических вузах поступающие сдают экзамены по математике. Этого экзамена многие боятся. Часто можно услышать разговоры, что на приемных экзаменах по математике поступающим предлагают решать головоломнейшие задачи, а экзаменаторы якобы только тем и обеспокоены, как бы «срезать» побольше поступающих.