Читать онлайн «Задачи по алгебре, арифметике и анализу»

в. в. ПРАСОЛОВ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ, АРИФМЕТИКЕ И АНАЛИЗУ 2004 П70 Прасолов В. В. П70 Задачи по алгебре, арифметике и анализу. в книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относяш;ие- ся к школьной программе, но, в основном, несколько новыпхенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями. Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов. У [а/^/'^ / (В . В . Прасолов) © Прасолов В. В. , 2004 Оглавление Предисловие 14 Глава 1. Квадратный трёхчлен 16 1. 1. Наименьшее значение квадратного трёхчлена 16 1. 2. Дискриминант 17 1. 3. Разные задачи 17 1. 4. Теорема о промежуточном значении 18 1. 5. Уравнение касательной к конике 19 1. 6. Результант 19 Решения 19 Глава 2. Уравнения 26 2. 1. Замена переменных 26 2. 2. Угадывание корней 26 2. 3. Уравнения с радикалами 27 2. 4. Разные уравнения 27 Решения 28 Глава 3. Системы уравнений 31 3. 1. Нахождение всех решений 31 3. 2. Нахождение веш;ественных решений 32 3. 3. Положительные решения 33 3. 4. Количество решений системы уравнений 33 3. 5. Линейные системы уравнений 34 Решения 36 4 Оглавление Глава 4. Делимость 42 4. 1. Чёт и нечёт 42 4. 2. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики ... 43 4. 3. Разложения на простые множители 44 4. 4. Признаки делимости 44 4. 5. Наибольший обш;ий делитель и наименьшее обш;ее кратное 45 4. 6. Делимость нацело 46 4. 7. Делимость на степень простого числа 46 4. 8. Остатки от деления 47 4. 9. Взаимно простые числа 48 4. 10. Простые числа 49 4. 11. Арифметика остатков 49 Решения 49 Глава 5. Тождества 63 5. 1. Разложения на множители 63 5. 2. Доказательство тождеств 64 5. 3. Суммы квадратов 64 5. 4. Вспомогательные тождества 64 5. 5. Разложения рациональных функций 65 5. 6. Разложения квадратичных функций 65 5. 7. Тождества с целыми частями 66 Решения 66 Глава 6. Рациональные и иррациональные числа 71 6. 1. Сравнение чисел 71 6. 2. Иррациональности в знаменателях 71 6. 3. Тождества с радикалами 72 6. 4. Доказательства иррациональности и рациональности . . 73 6. 5. Сопряжённые числа 74 6. 6. Последовательность Фарея 74 6. 7. Задачи с целыми частями 75 Решения 75 Глава 7. Текстовые задачи 84 7. 1. Решения без вычислений 84 7. 2. Вычисления 84 7. 3. Неравенства 85 7. 4. Целочисленные приближения 86 Оглавление 5 7. 5. Соответствия 86 Решения 87 Глава 8. Неравенства 91 8. 1. Неравенство х + 1/х ^2 91 8. 2. Неравенство треугольника 92 8. 3. Неравенство Коши 92 8. 4. Монотонность 93 8. 5. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим 93 5. 6.