Читать онлайн «Аналитические методы в спектральной теории дифференциальных операторов»

:й государственный университет имени M. B. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет В. А. САДОВНИЧИЙ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ (ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ) (Курс лекций) Издательство Московского университета 1973 *- ) \ } :- I Эти лекции были прочитаны автором в 1972 году на механиг| тематическом факультете МГУ для преподавателей вузов страны шателей факультета повышения квалификации. В лекциях мы стре! с одной стороны,изложить основополагающий материал классичес! функционального анализа-теорию пространств и операторов, а гой стороны,показать, как методы и идеи теории аналитических ций позволяют по новому взглянуть на традиционные задачи ан4 например, на задачу о том, является ли данная система собстя функций оператора полной в пространстве, базисом пространств) и т. д. Следует несколько слов сказать о задачах. Их в тексте мн! после каждого параграфа 10 задач. Они,как правило, различной} ности- от простых упражнений до содержательных теорем. Бсть кие задачи, решения которых автору не известны. При чтении : следует попытаться решить задачи, некоторые из утверждений, держащиеся в них, используются в дальнейшем. По сравнению с тем, что прочитано на лекциях в настоящем произведены незначительные изменения методического характера! так^же включена работа М. В. Келдыша "0 полноте собственных щ ций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов Автор выражает глубокую благодарность своим ученикам, ctj| там Башкирского государственного университета Н. Асадуллину Н. Мироненко за помощь при оформлении рукописи. (б) - Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 1973 7?Sb -ff-к Глава I, ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА. § I. Элементы теории множеств. Математикам постоянно приходится иметь дело с различными мно- ствами. К сожалению, дать в элементарном курсе определение мно- ства нельзя. Дело в том, что для того, чтобы определить какое- бо понятие, нужно указать, частным случаем какого более общего 1нятия оно является. Для понятия множества это невозможно, |тому, что оно является наиболее широким и ни в каких других содержится. Мы введем основные обозначения и кратко изложим рвоначальные теоретико-множественные факты. Множества обозначаются прописными буквами Л 9 £>,... ; элементы - малыми &,£,•••• Jf Утверждение "элемент а принадлежит множеству Л 1писывается так: й £ Л » если элемент CL не при- Ележит множеству J\ , то пишут CL 6 Л . Если |е элементы множества & содержатся в множестве Л , пишут & с Л (возможно Ё> ~ Л ) и В> назы- 1ется подмножеством Л • Пустое множество обозначается |мволом 0 • Суммой двух множеств Л и О называется третье [ожество С * состоящее из всех элементов, принадлежащих ря бы одному из множеств Л и Е> ( С * J) U & с: и~А* '• л к Пересечением множеств Л и О называется мно- ртво, состоящее из элементов, принадлежащих, как У1 , так и Разностью Л^ В> множеств Л и £> называется совокупить тех элементов из Л t которые не содержатся в £Ь ( £ =з be ).