Читать онлайн «Геометрия. 9-10 класс»

в. м. клопский, 3. А. СКОПЕЦ, Μ. И. ЯГОДОВСКИЙ ГЕОМЕТРИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для 9 и 10 классов средней школы ПОД РЕДАКЦИЕЙ 3. А-. СКОПЕЦА Допущено Министерством просвещения СССР ИЗДАНИЕ 7-е МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1981 513(075) К 50 В настоящем издании объединены учебные пособия по геометрии для IX и X классов. Основной материал предыдущих изданий не изменился. Единственное исключение—раздел «Задачи на повторение по курсу IX класса», в котором в связи с удалением нескольких задач незначительно изменилась нумерация. Некоторые сокращения проведены в разделах «Приложения». Для удобства читателя в этой книге сохранена нумерация параграфов и рисунков, приведенная в пособиях для IX и X классов предыдущих изданий. 60601—153 103(02)—81 ИН*' ПИСЬМ° 430б02040° ® Издательство «Просвещение», 1977 г. ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ класс Курс геометрии включает планиметрию и стереометрию. На уроках геометрии в VI—VIII классах вы занимались преимущественно планиметрией. Объектами изучения в планиметрии являются фигуры, лежащие в одной и той же плоскости, например угол, треугольник, параллелограмм, окружность. Все точки каждой из этих фигур принадлежат плоскости. Поэтому такие фигуры называются плоскими. В стереометрии изучаются фигуры, расположенные в пространстве. Они могут быть неплоскими (примерами таких фигур служат призма, пирамида, цилиндр, сфера) или плоскими. Поэтому сведения из планиметрии применяются и в стереометрии. Изучая стереометрию, мы продолжим начатое в восьмилетней школе знакомство с аксиоматическим методом построения геометрии, с отображениями фигур, с операциями над векторами и применением векторов при доказательстве теорем и решении задач. § 1. О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Систематический курс стереометрии строится по той же схеме, что и курс планиметрии: 1. Перечисляются основные понятия, которым не дают определений. 2. Формулируются аксиомы, в которых выражены свойства основных понятий. 3. С помощью основных понятий формулируются определения Других геометрических понятий. 4. На основе определений и аксиом доказываются теоремы. Школьный курс стереометрии не полностью следует такой схеме. Чтобы упростить изложение, доказательства некоторых теорем опускаются. В других случаях теоремы формулируются в виде задач. Основных понятий в стереометрии четыре: точка, прямая, плоскость и расстояние. Понятие «множество» также является основным (неопределяемым), причем не только в геометрии, но и во всех других разделах математики. Всякое множество точек з о Рис. 1 Рис. 2 в геометрии называют фигурой. Примерами фигур служат прямая и плоскость. На рисунках плоскость будем изображать в виде параллелограмма или какой-нибудь другой плоской фигуры (рис. 1). Плоскости обозначают обычно буквами греческого алфавита: α, β, у и т. п. Для точек и прямых сохраним обозначения, принятые в планиметрии: точки Л, В, С,. . . ; прямые я, Ь, с, . . . , а также (АВ), (АС) и т.