Читать онлайн «Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей»

АТЕМАТИКА ПЕРИОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК ПЕРЕВОДОВ ИНОСТРАННЫХ СТАТЕЙ 31 ИЗДАТЕЛЬСТВО НИ ОСТРА II НОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК ПЕРЕВОДОВ ИНОСТРАННЫХ СТАТЕЙ редакционная коллегия-. а. о. i ел ьфонд (ответственный редактор) В. Г. БОЛТЯНСКИЙ, М. И. В И Ш И К, М. А. ЕВ Г Р А Ф О В, Л. А. ЛЯПУНОВ, М. А. Н А Й М А Р К, М. М. ПОСТПИКОВ, А. М. Я Г ЛОМ ЗН ЯНВАРЬ —ФЕВРАЛЬ 1959 Ж И * Л ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ М о скв а ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ТОПОЛОГИИ *) Дж. Г. Уайтхед 1. Принцип двойственности. Мы не будем пытаться сформулировать принцип двойственности в общем виде, а ограничимся лишь разбором важнейших примеров. Простейший принцип двойственности встречается уже в чистой теории множеств. Пусть S — произвольное множество. Для любого его подмножества XCZS положим DX — S\X. Тогда из включения XCZY следует включение DYCZDX, так что для отображения вложения а:Х—>У (т. е. отображения, определенного формулой ах — х) определено отображение вложения Da множества DY в DX. Если, кроме того, YczZ(ZS, то а £ Da Di X—>Y—>Z, DX<—DY<~DZ, (1. 1) где В, Dp — отображения вложения. Очевидно, что D(Boa) = DaoDS, Dix=idx, (1. 2) где 1д — тождественное отображение iA: Л-^А множества Л. Кроме того, DDa = a (1. 3) для каждого отображения вложения а между подмножествами множества S. Пусть теперь X, Y, Z — конечномерные векторные пространства над некоторым полем F, и пусть a: X-^Y, 8: Y —э- Z — произвольные линейные отображения (пространства X, Y, Z могут иметь различные размерности). В этом случае через DX мы будем обозначать векторное пространство, состоящее из всех линейных отображений X-^F, а через Da: DY—>DX — линейное отображение, задаваемое формулой (Da)-/)-7]oct:X—>F (т]€Е>У). (1. 4) Ясно, что соотношения (1. 2) остаются справедливыми, а вместо (1. 3) имеет место соотношение Хх : X ~ D2X (D2X = DDX), (1. 5) где отображение Х^л:: DX —> F определено формулой (кхх) $ = £х: (f £ DX). Изоморфизм (1. 5) является естественным в том смысле, что диаграмма а X > У J1* i*r (1. 6) D2a D2X > D2y коммутативна (т. е. Ху о a = D2a о Лх). ^Whitehead J. H. С, Duality in topology, J. London Math. Soc, 31 (1956), 4 Дж. Г. Уайтхед Пусть теперь X, Y, Z - локально компактные абелевы группы, а а и У — (непрерывные) гомоморфизмы (т. е. непрерывные отображения, являющиеся алгебраическими гомоморфизмами). Обозначая через R{ аддитивную группу действительных чисел, приведенных по модулю 1, мы определим группу DX как группу всех гомоморфизмов X~>Rl в компактно-открытой топологии. Последнее означает, что множества вида W (С, U) d DX, состоящие из всех таких гомоморфизмов ■/\X—>Rl, что yC^zU, где Of С CZ X, Q^UtzR^ С компактной (. /открыто, образуют базис окрестностей точки 0£ЛХ. Группа DX локально компактна; она называется группой характеров группы X. Очевидно, что соотношения (1. 2) будут выполнены, если отображение Da мы определим формулой (1. 4), заменив лишь в пей поле F группой Rv Изоморфизм (1-й) составляет в этом случае содержание так называемой теоремы двойственности, впервые доказанной Понтрягипым [29] для сепарабельных компактных и счетных дискретных групп и распространенной ван Кампеном [20] на произвольные локально компактные (абелевы) группы (первое подробное доказательство см.