Читать онлайн «Элементарное введение в эллиптическую криптографию 1»

А. А. Болотов, С. Б. Гашков А. Б. Фролов, А. А. Часовских ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВВЕДЕНИЕ в ЭЛЛИПТИЧЕСКУЮ КРИПТОГРАФИЮ Алгебраические и алгоритмические основы МОСКВА URSS ББК 32. 81 УДК 512. 8 Болотов Анатолий Александрович, Гашков Сергей Борисович, Фролов Александр Борисович, Часовских Анатолий Александрович Элементарное введение в эллиптическую криптографию: Алгебраические и алгоритмические основы. — М. : КомКнига, 2006. — 328 с. ISBN 5-484-00443-8 Настоящая книга посвящена перспективному направлению в области защиты информации, математическую основу которого составляет теория эллиптических кривых. Книга содержит необходимые для изучения эллиптической криптографии сведения по теории конечного поля и базовые понятия теории эллиптических кривых. В ней излагаются используемые алгебраические понятия и методы эффективной реализации базовых алгебраических операций, с помощью которых могут строиться как известные, так и перспективные криптографические системы, основанные на использовании группы точек эллиптической кривой. Изложение сопровождается большим числом примеров и упражнений. Предназначено для студентов, преподавателей вузов и специалистов в области защиты информации, прикладной математики, вычислительной техники и информатики. Издание представляет интерес для лиц, связанных с кодированием и передачей информации и цифровой техникой, а также специалистов по прикладной математике, интересующихся компьютерной алгеброй. Издательство «КомКнига» 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9 Подписано к печати 03. 05 2006 г Формат 60x90/16. Печ. л. 20,5. Зак. № 552 Отпечатано в 000 «ЛЕНАНД» 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, д НА, СТр. 11. Введение 9 1. 1. Криптография с открытым ключом 9 1. 2. Группы, кольца, поля 15 1. 2. 1. Группы 15 1. 2. 2. Кольца. Поля. Многочлены над полем 23 1. 2. 3. Алгоритм Евклида и его варианты 26 Глава 2. Конечные поля и эллиптические кривые 38 2. 1. Поля Галуа 38 2. 1. 1. Характеристика поля 39 2. 1. 2. Мультипликативная группа конечного поля 40 2. 1. 3. Конечное расширение поля 42 2. 1. 4. Поле разложения многочлена 46 2. 1. 5. Минимальные многочлены. Существование неприводимых многочленов 48 2. 1. 6. След и норма элемента конечного поля 55 2. 1. 7. Алгоритмическое представление конечного поля 56 2. 1. 8. Поле Галуа как векторное пространство 58 2. 1. 9. Проверка, является ли нормальная система базисом. Переход от нормального базиса к стандартному 62 2. 1. 10. Переход от стандартного базиса к нормальному 64 2. 1. 11. О быстрой линейной алгебре 65 2. 1. 12. Быстрый алгоритм для решения систем линейных уравнений над конечным полем 69 2. 1. 13. Оптимальные и гауссовы нормальные базисы 70 2. 1. 14. Алгебраическое замыкание конечного поля 73 2. 1. 15. Квадратичные вычеты и извлечение квадратных корней в конечных полях 74 2. 2.