Читать онлайн «Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака»

Б. М. ЛЕВИТАН, И. С. САРГСЯН ОПЕРАТОРЫ ШТУРМА—ЛИУВИЛ ЛЯ И ДИРАКА МОСКВА «ПАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 88 ББК 22. 162 Л36 УДК 517. 984 Левитап Б. М. , Саргсян И. С. Операторы Штурма — Ли- увилля и Дирака. — М. : Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. , 1988. — 432 с. ISBN 5-02-013751-0 Излагаются основные вопросы спектральпой теории оператора Штурма — Лиувилля и одномерного оператора Дирака, а именно: асимптотика собственных зпачений и собственных функций, разложения по собственным функциям, исследование спектра, асимптотическое распределение собственных значений, вычисление регу- ляризоваппых следов, решение обратных задач. Может служить введением в общую спектральную теорию самосопряженных операторов в пространстве Гильберта. Для научных работников — математиков и физиков-теоретиков, занимающихся проблемами спектральной теории, а также для аспирантов и студентов старших курсов математических специальностей университетов. Библиогр. 92 назв. Рецензент доктор физико-математических наук М. В. Федорюк л 1702050000-117 v,} g8 053(02)-88 ISBN 5-02-013751-0 ©Издательство «Hay на». Главная редакция физико-математической литературы, 1988 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Частьпервая. ОПЕРАТОР ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ . 9 Глава I. Спектральная теория в регулярном случае . . 9 § 1. Основные свойства оператора 9 § 2. Асимптотика собственных значений и собственных функций 12 § 3. Теория Штурма о нулях решений ... . 21 § 4. Периодическая и антипериодическая задачи . . 26 § 5. Доказательство теоремы разложения методом интегральных уравнений 30 § 0. Доказательство теоремы разложения в периодическом случае . . 45 § 7. Доказательство теоремы разложения методом контур пого интегрирования 48 Указания к литературе 52 Глава II. Спектральная теория в сингулярном случае 53 § 1. Равенство Парсеваля па полуоси 53 § 2. Круг и точка Вейля 60 § 3. Интегральное представление резольвенты ... 67 § 4. Функция Вейля — Титчмарша 76 § 5. Доказательство равепства Парсеваля в случае всей прямой 83 § 6. Решения Флоке (Блоха) 92 § 7. Разложения по собственным функциям в случае периодического потенциала 95 Указания к литературе 99 Глава III. Исследование спектра 100 § 1. Дискретный или точечный спектр 100 § 2. Исследование спектра в случае суммируемого потенциала . ♦. . ». , 105 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Преобразование основного уравнения . § 4. Исследование спектра в случае q(x) ->— оо Указания к литературе Глава IV. Распределение собственных значений § 1. Интегральное уравнение для функции Грина § 2. Первая производная функции G(x, ц; \х) . § 3. Вторая производная функции G(x, rj; \i) . § 4. Дальнейшие свойства функции G(x, r\\ \i) . § 5. Дифференцирование функции Грина по пара метру § 6. Асимптотическое распределение собственных зна чений § 7. Разложение по собственным функциям при неог раниченно растущем потенциале ... . Указания к литературе ИЗ 110 121 122 122 129 131 134 137 142 149 152 Глава V. Уточнение асимптотики собственных значений и формулы следов 153 § 1.