Читать онлайн «Антидемидович. Справочное пособие по высшей математике»

И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, ГП. Головач МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: РЯДЫ, ФУНКЦИИ ВЕКТОРНОГО АРГУМЕНТА Справочное пособие по высшей математике. Т. 2 М. : Едиториал УРСС, 2003. — 224 с. «Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 2 по содержанию соответствует первой половине второго тома «Справочного пособия по математическому анализу» и включает в себя теорию рядов и дифференциальное исчисление функций векторного аргумента. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико- математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Глава 1. Ряды 3 § 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 3 §2. Признаки сходимости знакопеременных рядов 25 § 3. Действия над рядами 3 8 §4. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно 40 сходящихся функциональных последовательностей и рядов §5. Степенные ряды 58 §6. Ряды Фурье 79 §7. Суммирование рядов. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 96 Глава 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента 113 § 1. Предел функции. Непрерывность 113 §2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента. 124 §3. Неявные функции 147 §4. Замена переменных 167 §5. Формула Тейлора 186 §6. Экстремум функции векторного аргумента 196 Ответы 220 Глава 1 Ряды § 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 1. 1. Общие понятия и определения. Определение 1. Пусть ап — произвольные элементы линейного пространства С, в котором определена сходимость, п €N. Рядом элементов ап называют выражение со = £ап, (1) п=1 а элементы ап — его членами. В частности, если ап £ R или ап € С, то ряд (1J называют числовым. Определение 2. Сумма п первых членов ряда (1) называется частичной суммой и часто обозначается через Sn, т. е. 5„ = ai + 02 + ... + ап. Определение 3. Если существует конечный предел lim Sn = S, S 6 С, n—. со то ряд (1) сходится в С, а элемент S называют суммой ряда. Если lim S„ = оо или не п—»оо существует, то ряд (1) называют расходящимся. Определение 4. Ряд со 22 ak, ak €£, (2) fc=n+l называется п-м остатком ряда (1) или остатком после п-го члена. Ряд (1) сходится или расходится вместе со своим остатком, поэтому часто при исследовании вопроса о сходимости ряда вместо него рассматривают n-й остаток. Определение 5. Пусть ап € К. Если ап ^ 0, то ряд (1) называют положительным; если а„ > 0, п £ N, то ряд (1) называют строго положительным. 1. 2. Необходимое условие сходимости ряда. Для того чтобы ряд (1); п. 1. 1, сходился в С, необходимо, чтобы Нт-а„ = 0, в£С, п-*оо где в — нулевой элемент линейного пространства С 1. 3.