Читать онлайн «Теория экстремальных задач»

НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ А. Д. ИОФФЕ, В. М. ТИХОМИРОВ ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1974 517. 2 И 75 УДК 519. 3 Серия «Нелинейный анализ и его приложения» выпускается под общей редакцией Н. Н. Боголюбова, М. А. Красносельского, Ю. Л. Митропольского Теория экстремальных задач. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М. , 1974. Книга посвящена необходимым и достаточным условиям экстремума и теоремам существования решений экстремальных задач. Особое внимание авторы уделяют общим принципам теории экстремальных задач. С единых позиций изучаются задачи математического программирования, вариационного исчисления и оптимального управления. Исследуются специальные классы задач — линейное программирование, квадратичные задачи, дискретные и линейные задачи оптимального управления. Большое число решенных задач и разобранных примеров показывают, как применять теорию в конкретных случаях. Книга может служить учебным пособием по курсам, связанным с оптимизацией. Она рассчитана на студентов старших курсов университетов, а также ка аспирантов и научных работников, занимающихся решением экстремальных задач. Книга содержит 15 илл. , библ. 313 назв. © Издательство «Наука», 1974. „ 20203-083 „е „0 И 053(02)-74 65"73 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Список основных обозначений 8 0. Введение. Предварительные сведения 11 § 0. 1. Функциональный анализ 22 § 0. 2. Дифференциальное исчисление 33 § 0. 3. Выпуклый анализ 56 § 0. 4. Дифференциальные уравнения 62 Глава 1. Необходимые условия экстремума 73 § 1. 1. Постановки задач и формулировки основных теорем 73 § 1. 2. Гладкие задачи. Правило множителей Лагранжа 85 § 1. 3. Выпуклые задачи. Доказательство теоремы Куна — Таккера 88 § 1. 4. Гладко-выпуклые задачи. Доказательство экстремального принципа 92 Глава 2. Необходимые условия экстремума в задачах классического вариационного исчисления и оптимального управления 101 § 2. 1. Постановки задач 101 § 2. 2. Элементарный вывод необходимых условий экстремума для простейших задач классического вариационного исчисления 109 § 2. 3. Задача Лагранжа. Уравнение Эйлера — Лагранжа 134 § 2. 4. Принцип максимума Понтрягина. Формулировка и обсуждение 143 § 2. 5. Доказательство принципа максимума 158 Глава 3. Элементы выпуклого анализа 172 § 3. 1. Выпуклые множества и теоремы отделимости . . 172 § 3. 2. Выпуклые функции 178 § 3. 3. Сопряженные функции. Теорема Фенхеля — Моро 183 § 3. 4. Теоремы двойственности 188 § 3. 5. Выпуклый анализ в конечномерных пространствах 194 Глава 4. Локальный выпуклый анализ 202 § 4. 1. Однородные функции и производные по направлениям 202 § 4. 2. Субдифференциал. Основные теоремы 207 § 4. 3. Конусы опорных функционалов 216 4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. 4. Локально выпуклые функции 219 § 4. 5. Субдифференциалы некоторых функции ... . 223 Глава 5. Локально выпуклые задачи и принцип максимума для задач с фазовыми ограничениями 234 § 5. 1. Локально выпуклые задачи 234 § 5. 2.