Читать онлайн «Представления и квадратичные формы (сборник работ)»

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Сборник научных трудов Киев Институт математики АН УССР 1979 УДК 519. 4 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ! Сб. научн. тр. /Отв. ред. Ю. А. Митропольский. - К. : Ин-т математики АН УССР, 1979. - 154 с. Сборник посвящен теории представлений и примыкающим классификационным задачам линейной алгебры. В нем, с одной стороны, содержатся работы, связанные с построением общего формального определения матричной задачи в категорных терминах, с другой стороны, решаются конкретные задачи теории представлений, связанные с выделением ручных и диких объектов и установлением связей с формами Титса. Ответственный редактор Ю. А. Митропольский, академик АН УССР (б) Институт математики АН УССР, 1979 УДК 519. 4 А. В. Рой тер МАТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БОКСОВ Во многих вопросах теории представлений (см. [lj ) возникают задачи, которые могут рассматриваться, с одной стороны, на языке линейной алгебры как задачи об эквивалентности матриц. относительно некоторого множества преобразований , с другой стороны, на языке теории категорий. При этом иногда перевод с матричного языка на категорный осуществляется без затруднений, и матричные задачи получают очень простую и естественную форму. Я имею в виду, прежде всегодредставления колчанов [2] . Однако в других случаях теоретико-категорная интерпретация классификационных задач линейной алгебры не столь очевидна. В работах [3J , [4] было показано, что матричные задачи могут рассматриваться, как представления дифференциальных или квазидифференциальных градуированных категорично определение этих представлений было громоздким и трудным для понимания. В настоящей статье я попытаюсь подойти к этому вопросу с другой точки зрения (намеченной в [l] ) и предложить, как мне кажется, более естественную конструкцию, в действительности,эквивалентную представлениям ДГК или КДГК. § 1. Тривиальные примеры Начнем с детального рассмотрения простейших примеров. Хорошо известно, что элементарными преобразованиями строк и столбцов любую матрицу над полем можно привести к диагональному виду с единицами и нулями по диагонали, т. е. к виду Г ' 1 \ £ I О \ \ О I О \ 3 где В - единичная матрица. Рассмотрим теперь матрицу, разделенную вертикальной чертойь М « (А/ЗУ и сформулируем две матричные задачи: 1. К какому виду можно привести М , если элементарные преобразования со столбцами разрешаются только внутри каждой вертикальной полосы (а со строками - любые элементарные преобразования)? И. Та же задача, если дополнительно разрешаются прибавления столбцов "слева* направо, т. е. из полосы А - в полосу 6 (но не наоборот). Обе эти задачи совершенно тривиальны. Вослользуем- ся ими, чтобы продемонстрировать на их решении, на первый взгляд, довольно примитивный алгоритм, который заключается в том, что мы вначале приводим одну часть матрицы к виду (1), а затем смотрим, что можно делать с оставшейся частью, чтобы не 'попортить* уже приведенную.