Читать онлайн «Нестандартные методы анализа»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ А. Г. КУСРАЕВ С. С. КУТАТЕЛАДЗЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Ответственный редактор академик Ю. Г. Решетняк НОВОСИБИРСК «НАУК А» СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 1990 УДК 517. 11 Нестандартные методы анализа/Кусраев А. Г. , Кутателад- зе С. С. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. — 344 с. ISBN 5-02-029344-Х. Данная монография — первая в отечественной литературе, посвященная новейшим методам анализа, связанным с привлечением нестандартных моделей теории множеств. Излагаются общие установки и основы формализма инфинитезималей, связанные с современной трактовкой классического аппарата актуальных бесконечно малых, неделимых, монад. Детально разрабатывается техника спусков и подъемов булевознач- ного анализа, позволяющая существенно расширить объем и область применимости математических утверждений. Особое внимание уделено полученным в последние годы нетрадиционным функционально-аналитическим приложениям нестандартных методов к су б дифференцированию общих изображений и к изучению пространств Канторовича. Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся нестандартным анализом и его приложениями. Ил. 5. Библиогр. : 286 назв. Рецензенты доктора физико-математических наук М. Л. Аграновский, А. А. Толстоногое Утверждено к печати Институтом математики СО АН СССР Научное издание Кусраев Анатолий Георгиевич Кутателадзе Семен Самсонович НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Редакторы издательства В. Н. Дятлов, Т. Д. Семченко Художник А. И. Смирнов Художественный редактор С. В. Марковская Технический редактор С. А. Смородинова Корректоры Ε. Η. Зимина, Л. Л. Михайлова ИБ 34713 Сдано в набор 10. 10. 89. Подписано к печати 19. 06. 90. МН-01663. Формат 60x90'/i6. Бумага типографская № 2. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 21,5. Усл. кр. -отт. 21,5. Уч. -изд. л. 22. Тираж 1850 экз. Заказ № 869. Цена 4 р. 60 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука», Сибирское отделение. 630099 Новосибирск, ул. Советская, 18. 4-я типография издательства «Наука». 630077 Новосибирск, ул. Станиславского, 25. К '602020000-098 234_90 I полугодие 042(02)-90 * © Издательство «Наука», 1990 ISBN 5-02—029344—X ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 5 Часть I. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 7 Глава 1. Экскурс в историю математического анализа 9 1. 1. Г. В. Лейбниц и И. Ньютон 10 1. 2. К. Маркс о мистическом дифференциальном исчислении 13 1. 3. Л. Эйлер 14 1. 4. Выступление Дж. Беркли 15 1. 5. Ж. Д'Аламбер и Л. Карно 16 1. 6. Б. Больцано, О. Коши и К. Вейерштрасс — 1. 7. Η. Η. Лузин 17 1. 8. А. Робинсон 19 Глава 2. Наивные основы инфинитезимальных методов — 2. 1. Понятие множества в нестандартном анализе 20 2. 2. Простейшие свойства стандартных и нестандартных вещественных чисел 25 2. 3. Начальные понятия математического анализа на прямой 32 Глава 3. Теоретико-множественные формализмы нестандартного анализа 43 3. 1. Язык теории множеств 46 3. 2. Теория множеств Цермело — Френкеля 52 3. 3. Теория внутренних множеств Нельсона 58 3. 4. Теории внешних множеств 64 3. 5.