Читать онлайн «Уравнения, тождества, неравенства при решении геометрических задач»

aIV C2j( 3 ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 9 а г. готман УРАВНЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, НЕРАВЕНСТВА ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ СТАРШИХ КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ» Москва I960 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемый сборник содержит геометрические задачи и может быть использован учителями математики средней школы в процессе работы с учащимися старших классов. Сборник состоит из трех глав. В главе I помещены геометрические задачи по курсу «Алгебра и элементарные функции», приводящие к алгебраическим и тригонометрическим уравнениям, а также задачи на доказательство неравенств и тождеств. Глава II содержит задачи по основным разделам курса геометрии * старших классов. Стереометрические задачи представлены, главным образом, задачами, которые решаются с помощью уравнений. Глава III содержит задачи для внеклассной работы с учащимися. Задачи каждой главы разбиты на параграфы в соответствии с темами программы по математике для средней школы. В каждом параграфе задачи расположены по степени возрастающей трудности и приведены по возможности в такую систему, что решение трудной задачи подготавливается решением предыдущих задач. Трудные задачи снабжены краткими решениями или указаниями к решению. Особое внимание уделено задачам с параметрическими данными. В ответах к этим задачам указываются множества допустимых значений параметров. В сборнике много новых задач, составленных автором на основе его педагогического опыта. Ряд задач заимствован из различных источников. Литература приведена в 3 конце сборника. В книге Шив статьях 17] н 181 и?л©* жена методика решения задач с параметрическими дашйй* ми. Более трудные задачи по теме настоящего сборника можно найти в книгах 12] и [3]. Автор выражает глубокую благодарность профессору 3. А. Скопецу за ценные советы и указания по составлению сборника. ВВЕДЕНИЕ В процессе преподавания математики важно научить учащихся применять идеи и методы одной математической дисциплины к другой. Понимание взаимосвязи математических дисциплин поможет учащимся лучше усвоить программный материал, сделает знания их более конкретными, глубокими и прочными. Учитель имеет широкие возможности использовать взаимосвязь математических дисциплин при решении целесообразно подобранных задач. Предлагаемый сборник содержит такие задачи геометрического характера для решения как на уроках геометрии, так и на уроках алгебры в старших классах средней школы. Задачи первых двух параграфов сборника рекомендуется решать в IX классе при изучении алгебраического материала. Решение задач на геометрические неравенства легко связать с изучением числовых неравенств. Покажем это на примере. Задача 1. Доказать, что высоты ha, hb, hc треугольника и радиус г вписанной в него окружности удовлетворяют неравенству К + К + hc > 9 л ^(1) Для решения задачи можно воспользоваться формула- 2S S ми ha = — и г — — (5 — площадь, ρ — полупериметр а р треугольника), с помощью которых неравенство (1) приводится к виду !+! + !> !—. (2) a b с о+6+с Обратно, из неравенства (2) вытекает неравенство (1).