Читать онлайн «Численные методы»

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 8 ЧАСТЬ I ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ § 1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент . . 11 1. Схема вычислительного эксперимента (11). 2. Вычислительный алгоритм (12). 3. Требования к вычислительным методам (14). § 2. Погрешности округления 16 1. Представление вещественных чисел в ЭВМ (16). 2. Округление чисел в ЭВМ (17). 3. Накопление погрешностей округления (19). 4. Разностные уравнения первого порядка (20). 5. Оценки погрешностей округления (22) § 3. Разностные уравнения второго порядка 25 1. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений (25). 2. Однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (26). 3. Однородное разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (28). 4. Неоднородное разностное уравнение второго порядка (31). § 4. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений ... 34 1. Сетки и сеточные функции (34). 2. Разностная краевая задача (35). 3. Некоторые разностные тождества (38). 4. Разностная задача на собственные значения (39). 5. Свойства собственных значений и собственных функций (41). 6. Разрешимость и сходимость разностной задачи (43). 7. Метод прогонки (45). ЧАСТЬ II ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА Глава 1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений 48 § 1. Метод Гаусса численного решения систем линейных алгебраических уравнений 49 1. Основная идея метода (49). 2. Расчетные формулы (51). 3. Подсчет числа действий (53). § 2. Условия применимости метода Гаусса 54 1. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители (54). 2. Теорема об LU-разложении (55). 3. Элементарные треугольные матрицы (58). § 3. Метод Гаусса с выбором главного элемента 60 1. Основная идея метода (60). 2. Матрицы перестановок (61). 3 Пример (62). 4. Общий вывод (65). 5. Доказательство теоремы 1 (66). 6. Вычисление определителя (67). § 4. Обращение матрицы 68 § 5. Метод квадратного корня 69 1. Факторизация эрмитовой матрицы (69). 2. Пример (70). 3. Общие расчетные формулы (71). 4. Подсчет числа действий (72). § 6. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений . . 74 1. Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений (74). 2. Число обусловленности (76). 3. Полная оценка относительной погрешности (77). 4. Влияние погрешностей округления при -решении систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (79). 1* 3 Глава 2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений 82 § 1. Примеры и канонический вид итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений 82 1. Итерационные методы Якоби и Зейделя (82). 2. Матричная запись методов Якоби и Зейделя (83). 3. Каноническая форма одношаговых итерационных методов (84). § 2. Исследование сходимости итерационных методов 86 § 3. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных итерационных методов 90 1. Введение (90). 2. Норма матрицы (91). 3. Теорема о сходимости итерационного метода (92). 4. Продолжение доказательства (93). § 4. Оценки скорости сходимости стационарных итерационных методов . 95 1.