Читать онлайн «Математические бильярды»

\ БИБЛИОТЕЧКА -КВАНТ- выпуск 77 ш ГА. ГАЛЬПЕРИН А. Н. ЗЕМЛЯКОВ ТЕМ Т Ч С Р Ы ББК 22. 18 Серия «Библиотечка «Квант» П7 основана в 1980 г. А. Осипьян (председатель), доктор физико- математических наук А. И. Буздин (ученый секретарь), ака- академик А. А. Абрикосов, академик А. С. Боровик-Романов, академик Б. К. Вайнштейи, заслуженный учитель РСФСР Б. В. Воздвиженский, академик В. Л. Гинзбург, академик Ю. В. Гуляев, академик |А. П. Ершов |, профессор С. П. Ка- Капица, академик А. Б. Мигдал, академик С. П. Новиков, ака- академик АПН СССР В. Г. Разумовский, академик Р. 3. Сагдеев, профессор Я. А. Смородинский, академик | С. Л. Соболев |, член-корреспондент АН СССР |Д. К. Фаддеев] Реце нее нт доктор физико-математических наук Л. А. Бднимович Гальперин Г. А. , Земляков А. Н. Г17 Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики). — М. : Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. , 1990. — 288 с. — (Б-чка «Квант». Вып. 77) ISBN 5-02-014080-5 Рассказывается о поведении бильярдного шара на столе произвольной формы без луз. Описание этого поведения приводит к решению разнообразных вопросов математики и механики: задач о переливании жидкости, об освещении веркальных комнат, об осциллографе и фигурах Лиссажу и др. На доступном школьникам языке вводятся понятия конфигурационного и фазового пространства, понятия геоде- геодевических на простейших двумерных поверхностях, предла- предлагаются (с решениями) многочисленные интересные задачи. Для школьников 9—10-х классов. 1604010000—012 Г ЪЯ№*> 162'89 ББК 22. 18 ISBN 5-02-014080-5 математической литературы, 1990 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Введение 7 Часть I. БИЛЬЯРДЫ В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ 24 Глава 1. Бильярд в круге 24 § 1. Шар в круглом бильярде без луз 24 §2. Теорема Якобн. Применение к теории чисел 31 § 3. Теорема Пуанкаре о возвращении. Конфи- Конфигурационное и фазовое пространства. Па- радоко Цермело и модель Эренфестов 42 Глава 2. Бильярд в эллипсе 60 § 4. Эллипс и его бильярдные свойства. Каус- Каустики 60 § 5*. Задача об освещении невыпуклой области 78 § 6. Экстремальные свойства бильярдных тра- траекторий. Принцип Ферма и теорема Бнрк- гофа 89 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА ПРЯМОУГОЛЬ- НОГО БИЛЬЯРДА 100 Глава 3. Геометрия прямоугольного бильярда 100 § 7. Бильярдный шар на прямоугольном стола без луз 100 § 8. Тор и его обмотки 108 § 9. Бильярд в прямоугольнике и тор 117 Глава 4. Физика прямоугольного бильярда 122 § 10. Фигуры Лиссажу 122 §11. Бильярд в прямоугольнике н осциллограф 129 § 12. Задача о пеленге 133 Часть III. ГЕОМЕТРИЯ И АРИФМЕТИКА СТОЛКНО- СТОЛКНОВЕНИЙ 137 Глава 5. Одномерный «газ» из двух молекул 139 § 13. Два упруго сталкивающихся шара на от- отрезке 139 § 14. Два шара на отрезке: сведение к бильярду в треугольника 147 3 § 15. Два шара на полупрямой: сведение к би- бильярду в угле 153 Глава 6. Одномерный «газ» из большого числа молекул 159 § 16. Три упругих шара на прямой 159 § 17. п упругих шаров на прямой 165 § 18*.