Читать онлайн «Комплексный анализ, многие переменные 1»

ISSN 0233—6723 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР АКАДЕМИЯ НАУК СССР ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ ВСЕСОЮЗНЫЙ ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ СЕРИЯ СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Фундаментальные направления Том 7 Научный редактор член-корреспондент АН СССР Р. В. Гамкрелидзе Серия издается с 1985 г. МОСКВА 1985 1-5328 6 Главный редактор информационных изданий ВИНИТИ профессор А. И, Михайлов РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ информационных изданий по математике Главный редактор чл. -корр. АН СССР Р. В. Гамкрелидзе Члены редколлегии: канд. физ. -матем. наук Д. Л. Келенджеридзе, канд. физ. -матем. наук М. /С. Керимов, академик А. Н. Колмогоров, чл. -корр. АН СССР Л. Д. Кудрявцев, профессор В. Н. Латышев, профессор А. В. Малышев, академик С. М. Никольский, профессор Н. М. Остиану (ученый секретарь редколлегии), академик Л. С. Понтрягин, доктор физ. -мат. наук Н. X. Розов, профессор В. К. Саульев, профессор А. Г. Свешников Редакторы-консультанты серии профессор Н. М. Остиану, академик Л. С. Понтрягин Научные редакторы серии А. А. Аграчев, 3. А. Измайлова, В. В. Никулин, В. П. Сахарова Научный консультант Заслуженный деятель культуры М. И. Левштейн © ВИНИТИ, 198S КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ- МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ-1 Редактор -консультант член-корреспондент АН СССР А. Г. Витушкин Научный редактор тома Е. А. Палецкий Авторы: А. Г. Витушкия, П. Дольбо, Г. М. Хеншн, Е. М. Чирка УДК 517. 55 + 515. 17 I. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА А. Г. \ Витушкин СОДЕРЖАНИЕ § 1. Феномен продолжаемости 5 § 2. Области голоморфности 7 § 3. Голоморфные отображения. Вопросы классификации ... . 9 § 4. Интегральные представления функций 10 § 5. Аппроксимация функций 12 § б. Выделение неголоморфнон части функции 14 § 7. Построение функции с заданными нулями 16 § 8. Многообразия Штейна 18 § 9. Деформации комплексной структуры 21 Статья дает краткий обзор результатов по современному комплексному анализу и его приложениям. Обсуждение мяте* риала концентрируется вокруг нескольких узловых фактов, понимание которых дает возможность составить общее представление об этом разделе математики. § 1. ФЕНОМЕН ПРОДОЛЖАЕМОСТИ Наиболее впечатляющий факт комплексного анализа — это феномен продолжаемости функции (Гартогс, 1906; Пуанкаре» 1907). Поясним на примерах, что имеется в виду. Если функция / определена и голоморфна на границе шара S из п-мерного комплексного пространства Сп (п^2), то оказывается, что / может быть продолжена до функции, голоморфной на всем шаре S. Аналогично, для произвольной ограниченной области со связным дополнением функция, голоморфная на границе области, голоморфно продолжается внутрь этой области. Подчеркнем, что это верно лишь при /г>2. В одномерном случае это, очевидно, не так — для всякого множества EczC1 и точки Zq£C*\E функция —-— голоморфна в Е и не может быть голоморфно продолжена в точку zQ. Это открытие послужило началом систематического изучения функций многих комплексных переменных. Основные понятия, возникающие в связи с этим свойством голоморфных функций, — 5 это «оболочка голоморфности» и «область голоморфности». Пусть JD— это область или компакт из О1.