Читать онлайн «Концепции совр. математики»

Ян Стюарт Y - КОНЦЕПЦИ СОВРЕМЕННО ~ МАТЕМАТИК Ян Стюарт КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ Перевод с английского Минск, «Вышэйшая школа», 1980 ББК 22. 1 УДК 51 (023) Ian Stewart Concepts of Modern Mathematics Penguin Books Перевод с английского Н. И. Плужниковой (предисловие гл. 1—5, 9—14, 16—20, примечания, указатель) и Г. М. Цу керман (гл. 6—8, 15); предисловие к русскому изданию Э. И, Зверовича, д-ра физ,-мат. наук, проф. 20201—009 СМ304(05)-8028-79 1702010000 Copyright (6) Ian Stewart, 1975 (6)Предисловие к русскому изданию, 14 перевод на русский язык, издательство с «Вышэйшая школа», 1980 Су Предисловие к русскому изданию Предлагаемая вниманию советских читателей книга Яна Стюарта при сравнительно небольшом объеме отличается очень широким охватом материала. В ней автор на конкретных математических объектах и в популярной форме излагает основные понятия, а также некоторые идеи и методы современной математики. Книга состоит из 20 небольших глав, первая io из которых имеет характер введения и посвящена общим вопросам методологии математики (абстрактность и общность, интуиция и формализм, цели математики, ее полезность и другие). В остальных 19 главах книги рассматриваются более конкретные вопросы. Во второй главе автор обсуждает геометрические преобразования (в основном, движения) и показывает их роль при доказательстве геометрических теорем. В следующей главе рассматривается арифметика вычетов и некоторые ее теоретико-числовые приложения. Глава 4 посвящена изложению теоретико-множественного языка и элементов алгебры Шожеств. В главе 5 обсуждается общее понятие отображения (функции) и связанная с ним терминология. Две следующие лавы посвящены элементам общей алгебры. Здесь вводятся понятия кольца и поля, приводятся примеры и даются интересные приложения. Понятие группы и элементы теории групп ^бсуждаются на примере групп симметрии, демонстрируются методы теории групп, позволяющие классифицировать группы с точки зрения изоморфизма. В главе 8 на геометрическом материале обсуждается аксиоматический метод в математике, рассматриваются понятия непротиворечивости, независимости и полноты систем аксиом. В следующей главе рассматривается понятие мощности конечных и бесконечных множеств, устанавливается существование трансцендентных чисел. Главы 10— Н посвящены популярному изложению топологии. Обсуждает- • ся топологическая эквивалентность, топологические теоремы существования, теорема Эйлера о многогранниках и ее прило- 3 жения к теории графов и к проблеме четырех красок. Дале- ч рассматриваются топологические инварианты поверхностей эйлерова характеристика и свойство ориентируемости, на это! основе дается топологическая классификация конечных поверх ностей. Затем автор переходит к элементам алгебраически" топологии. Вводится понятие гомотопных путей, гомотопических классов, фундаментальной группы топологического пространства, показывается ее топологическая инвариантность, рассматриваются примеры на вычисление фундаментальных групп Рассмотрены также формула Эйлера для пространств высши.