Читать онлайн «Труды Московского Математического Общества. Том 24»

ТРУДЫ московского МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА ТОМ 24 ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1971 УДК 51 :006. 22т РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: П. С. АЛЕКСАНДРОВ, Л. Р. ВОЛЕВИЧ (зам. гл. редактора),. И. М. ГЕЛЬФАНД, О. Н. ГОЛОВИН, А. Н. КОЛМОГОРОВ, О. А. ОЛЕЙНИК (главный редактор), Я. Г. СИНАЙ 2-2-3 136—71 1971 ТРУДЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА Том 24 * . УДК 517. 944 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ю. В. Егоров СОДЕРЖАНИЕ Введение . • 3 § 1. Вспомогательные утверждения 4 § 2. Основные результаты 12 § 3. Доказательство теоремы 1 14 § 4. Доказательство теоремы 2 16 § 5. Окончание доказательства теоремы 2 18 § 6. Приложения 25 Литература 27 Введение В этой работе доказывается инвариантность старшей части символа псевдодифференциального оператора, определенного на многообразии Q, относительно канонических преобразований кокасательного к Q расслоения. Пусть Q — бесконечно дифференцируемое паракомпактное многообразие, Е и F — комплексные векторные расслоения на Q с гладкой структурой. Определение псевдодифференциального оператора Р: CJT(Q, E)->C°°{Q, F) было дано Л. Хермандером в работе [2]. В связи с этим Л. Хермандер изучил зависимость символа оператора от выбора системы локальных координат на Q. Аналогичный результат был независимо получен М. И. Вишиком и Г. И. Эскиным в [6]. В этой работе мы расширяем область допустимых преобразований до однородных канонических преобразований кокасательного к Q пространства Г*(й) (с выброшенным нулевым сечением) и доказываем инвариантность главной части символа р°{х, I). В § 4 мы показываем также возможность использован™ общих, канонических преобразований (не обязательно однородных/•' в Чеорййи псевдодифференциальных операторов. Полученные результаты использовались нами в работах [8]„ [9] для изучения субэллиптических псевдодифференциальных операторов и в [10] при изучении условий локальной разрешимости. Ю. В. ЕГОРОВ Первый параграф работы содержит необходимые сведения из теории канонических преобразований, описание метода стационарной фазы и другие результаты, играющие в нашем изложении вспомогательную роль. Во втором параграфе работы перечислены все основные результаты. Третий, четвертый и пятый параграфы посвящены доказательству основных теорем. Наконец, в последнем, шестом параграфе доказаны две теоремы о канонической форме псевдодифференциального оператора с простыми вещественными характеристиками. Краткое изложение результатов данной работы было дано в заметках [10] и [11]. § 1. Вспомогательные утверждения В этом параграфе приводятся (и частично доказываются) некоторые известные результаты, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем изложении. 1. Канонические преобразования. Как известно из классической механики (см. , например, [1], [14], [15]), каноническим преобразованием фазового пространства переменных (х, g) = (хь ... , хп, |ь ... , gn) называется такое взаимно однозначное преобразование (х, £)->(*', |'), при котором не меняется величина ^ L dlt dxi dxL dli у i=l каковы бы ни были гладкие функции /(х, £), ё(х> £)• Эта величина называется скобкой Пуассона функций / и g.