Читать онлайн «Математическме бильярды»

БИБЛИОТЕЧКА-КВАНТ- ВЫПУСК 77 ГА. ГАЛЬПЕРИН А. Н. ЗЕМЛЯКОВ щ ш МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БИЛЬЯРДЫ БИБЛИОТЕЧКА «КВАНТ* выпуск 77 Г. А. ГАЛЬПЕРИН А. Н. ЗЕМЛЯКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БИЛЬЯРДЫ БИЛЬЯРДНЫЕ ЗАДАЧИ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1990 ББК 22. 18 Серия «Библиотечка «Квант» П7 основана в 1980 г. УДК 519. 83(023) РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ Академик Ю. А. Осипьян (председатель), доктор физико- математических наук А. И. Буздин (ученый секретарь), академик А. А. Абрикосов, академик А. С. Боровик-Романов, академик Б. К. Вайнштейи, заслуженный учитель РСФСР Б. В. Воздвиженский, академик В. Л. Гинзбург, академик Ю. В. Гуляев, академик I А. П. Ершов |, профессор С. П. Капица, академик А. Б. Мигдал, академик С. П. Новиков, академик АПН СССР В. Г. Разумовский, академик Р. 3. Сагдеев, профессор Я. А. Смородинский, академик | С. Л. Соболев |, член-корреспондент АН СССР | Д. К. Фаддеев | Рецензент доктор физико-математических наук Л. А. Бднимович Гальперин Г. А. , Земляков А. Н. Г17 Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики). — М. : Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит. , 1990. — 288 с. — (Б-чка «Квант». Вып. 77) ISBN 5-02-014080-5 Рассказывается о поведении бильярдного шара на столе произвольной формы без луз. Описание этого поведения приводит к решению разнообразных вопросов математики и механики: задач о переливании жидкости, об освещении веркальных комнат, об осциллографе и фигурах Лиссажу и др. На доступном школьникам языке вводятся понятия конфигурационного и фазового пространства, понятия геодезических на простейших двумерных поверхностях, предлагаются (с решениями) многочисленные интересные задачи. Для школьников 9—10-х классов. 1604010000—012 Г "053(02)-90 'в2"89 ББ* М-»8 ISBN 5-02-014080-5 © Издательство «Наука». Главная редакция физико- математической литературы. 1990 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие б Введение 7 Часть I. БИЛЬЯРДЫ В ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ 24 Глава 1. Бильярд в круге 24 § 1. Шар в круглом бильярде без луз 24 § 2. Теорема Якобя. Применение к теории чисел 31 §3. Теорема Пуанкаре о возвращении. Конфигурационное и фазовое пространства. Па- радоко Цермело и модель Эренфестов 42 Г л а в а 2. Бильярд в эллипсе 60 § 4. Эллипс и его бильярдные свойства. Каустики 60 § 5*. Задача об освещении невыпуклой области 78 § 6. Экстремальные свойства бильярдных траекторий. Принцип Ферма и теорема Бнрк- гофа 89 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА ПРЯМОУГОЛЬНОГО БИЛЬЯРДА 100 Глава 3. Геометрия прямоугольного бильярда 100 § 7. Бильярдный шар на прямоугольном столе без луэ 100 § 8. Тор и его обмотки 108 § 9. Бильярд в прямоугольнике и тор 117 Глава 4. Физика прямоугольного бильярда 122 § 10. Фигуры Лиссажу 122 §11. Бильярд в прямоугольнике н осциллограф 129 § 12. Задача о пеленге 133 Часть III. ГЕОМЕТРИЯ И АРИФМЕТИКА СТОЛКНОВЕНИЙ 137 Р л а в а Б. Одномерный с газ» из двух молекул 139 § 13. Два упруго сталкивающихся шара на отрезке 139 § 14. Два шара иа отрезке: сведение к бильярду в треугольнике 147 3 § 15.