Читать онлайн «Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия. Том 1»

К. ВУАЗЕН ТЕОРИЯ ХОДЖА И КОМПЛЕКСНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Том 1 Введение ;< Кэлеровы и проективные многообразия. Наша книга состоит из двух томов. Первый том посвящен специальным структурам на когомологиях кэлеровых многообразий. Наибольший интерес для нас представляют разложения Ходжа и Лефшеца, их основные свойства и следствия этих свойств. Второй том посвящен систематическим приложениям полученных результатов в различных направлениях, относящихся к теории Ходжа, топологии и алгебраическим циклам на гладких проективных комплексных многообразиях. Гладкие проективные комплексные многообразия — это частный случай компактных кэлеровых многообразий. Кэлерово многообразие— это комплексное многообразие, снабженное эрмитовой метрикой, мнимая часть которой замкнута. Отметим, что мнимая часть эрмитовой метрики является 2-формой типа (1,1) относительно комплексной структуры. Эта 2-форма называется кэлеровой формой данной кэле- ровой метрики. Комплексное проективное пространство, снабженное, например, метрикой Фубини—Штуди, является кэлеровым многообразием. Более того, все его комплексные подмногообразия, снабженные индуцированной метрикой, также кэлеровы. Следующая теорема Кодаиры выделяет среди всех кэлеровых многообразий комплексные проективные. Теорема 0. 1. Компактное комплексное многообразие допускает голоморфное вложение в комплексное проективное пространство тогда и только тогда, когда на нем существует кэлерова метрика с целочисленным классом когомологий кэлеровой формы. В этом томе мы рассматриваем класс кэлеровых многообразий, не выделяя проективные многообразия, поскольку для доказательства существования разложений Ходжа и Лефшеца когомологий таких многообразий нет необходимости полагать, что класс кэлеровой формы целочисленный. Отметим, однако, что разложение Лефшеца рациональных когомологий возможно только для проективных многообразий; это главная причина того, что в дальнейшем мы уделим особое внимание проективным многообразиям. Именно, мы определим понятие поляризованной структуры Ходжа и поляризованной области периодов, параметризующей поляризованные структуры Ходжа. Кри- Введение визна поляризованных областей периодов обладает свойствами, не имеющими места для неполяризованных областей периодов. Разложение Лефшеца рациональных (или целочисленных) когомологий расщепляет когомологий кэлерова многообразия в прямую сумму поляризованных структур Ходжа. Еще одна причина, по которой в приложениях теории Ходжа мы ограничиваемся проективными многообразиями, состоит в том, что кэлеровы многообразия в общем случае не имеют комплексных подмногообразий, тогда как у проективных многообразий их много. Более того, проективные многообразия имеют так много комплексных подмногообразий, что в настоящее время в качестве далеко идущего обобщения гипотезы Ходжа высказывается гипотеза о том, что структуры Ходжа на проективном многообразии X в смысле, который будет разъяснен позднее, определяются геометрией алгебраических подмногообразий многообразия X, а точнее группами Чжоу многообразия X.