Читать онлайн «УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ТЕОРИИ ГРУПП»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. Р. Чехлов УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ТЕОРИИ ГРУПП Рекомендовано учебно-методическим советом по математики и механике У МО университетов РФ в качестве учебного пособия для студентов математических направлений и специальностей университетов Томск 2004 Предисловие Данная книга есть сборник задач по различным разделам теории групп Предполагается, что читатель уже знаком с терминологией и основными теоремами. Тем не менее, в каждом параграфе имеется небольшое введение, в котором приводятся основные понятия и обозначения, используемые далее в упражнениях. Некоторые понятия объясняются в формулировках задач. Большинство задач носит теоретический характер. Это поможет в определенной степени удовлетворить запросы сильных студентов и подготовить их к чтению научной литературы. Обширный материал, делает невозможным охватить все части теории групп в одной книге, но преследовалась цель показать читателю богатство содержания и разнообразие методов этой теории. Некоторые задачи снабжены ответами и указаниями, иногда довольно подробными для иллюстрации впервые встретившихся методов рассуждений, номера таких задач отмечены звездочками. При составлении сборника были существенно использованы сборники задач, указанные в списке литературы. Автор с благодарностью примет все замечания о недостатках книги, а также советы по ее улучшению. Томск, пр. Ленина, 36, Томский госуниверситет, ММФ, каф. алгебры, Чехлову А. Р. Введение Теория групп, несмотря на относительную молодость, имеет интересную и содержательную историю. От Ж. -Л. Лагранжа A736- 1813), стихийно применявшего группы перестановок, до работ Эва- ристы Галуа A811-1832), где уже сознательно используется идея группы (им же впервые введен и сам термин), - вот путь, по которому развивалась эта идея в рамках теории алгебраических уравнений. Независимо идея группы возникла в геометрии, когда в середине XIX века на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро стал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход был указан «Эрлагенской программой» Ф. Клейна A849-1925), положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований. Третий источник понятия группы - теория чисел. Здесь можно отметить работы Л. Эйлера A707-1783) и К. Ф. Гаусса A777-1855). Осознание в конце XIX века принципиального единства теоретико-групповых идей, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия группы (А. Кэли A821-1895), Г. Фробениус A849-1918) и др. ). Изучение групп впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом в 1916 г. книги О. Ю. Шмидта A891-1956) «Абстрактная теория групп». В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры. Эта теория является мощным инструментом познания одной из глубоких закономерностей реального мира - симметрии.