Читать онлайн «Перестановочные матрицы»

Д. А. Супруненко, Р. И. Тышкевич Перестановочные матрицы Издание второе, стереотипное УРСС Москва «2003 ББК 22. 144 Супруненко Дмитрий Алексеевич, Ъппкевич Регина Иосифовна Перестановочные матрицы. Изд. 2-е, стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. - 104 с. ISBN 5-354-00437-3 В книге излагаются элементарные свойства системы перестановочных матриц, общие свойства коммутативных матричных алгебр над произвольным полем и некоторые классификационные вопросы, относящиеся к теории максимальных коммутативных подалгебр полной матричной алгебры над полем комплексных чисел. Формулируется несколько нерешенных проблем из теории коммутативных матричных алгебр. Книга рассчитана на научных работников и студентов математических и физических факультетов, интересующихся матричным аппаратом. Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9. Лицензия ИД №05175 от 25. 06. 2001 г. Подписано к печати 19. 08. 2003 г. Формат 60x90/16. Тираж 500 экз. Печ. л. 6,5. Зак. № 2-1020/241. Отпечатано в типографии ООО «Рохос». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9. А. Супруненко, Р. И. Тышкевич, 1966, 2003 ) Едиториал УРСС, 2003 Глава 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ МАТРИЦ Пусть Ρ — произвольное поле, Рп—л-мерное линейное пространство над полем Р, Рп—алгебра всех матриц степени η над полем Ρ или изоморфная ей алгебра всех линейных операторов, действующих в пространстве Р"9 GL (п, Р) — группа всех невырожденных матриц степени η над полем Ρ или группа всех невырожденных линейных операторов пространства Ря. Две матрицы (или два оператора; а и Ь из Рп называют перестановочными, если ab = ba. В этой главе излагаются простейшие свойства перестановочных матриц. Если L — линейное пространство над полем Р, то символом L : Ρ мы будем обозначать размерность L над Р. Для ии . . ,,uk^L будем обозначать [ии ... , uk] линейную оболочку множества [ul9... , ик). Этот же символ [Ль ... , Ak] мы употребляем для обозначения квазидиагональной матрицы с клетками Ль ... , Ak на диагонали. § 1. Лемма Шура Пусть / — линейный оператор пространства Рп, a Q— подпространство. Тогда f однозначно определяет отображение φ Q в Рп: для qQ = f то множество всех a|Q, σ £Σ назовем ограничением 2 на Q и обозначим ΣΙΦ- Пусть Σ— система линейных операторов из Рп. Если Q — такое подпространство пространства Рп9 что для любого q из Q и любого σ из Σοη£(ί,το(1 называется инвариантным относительно Σ подпространством. Систе- 3 ма линейных операторов 2 называется неприводимой, если в Рп имеется лишь два инвариантных относительно Σ подпространства : Q = (0) — подпространство, содержащее лишь нулевой вектор и Q = Pn. В противном случае 2 называется приводимой системой операторов. Пусть Q—инвариантное относительно 2 подпространство.