Читать онлайн «Труды семинара Н.Бурбаки за 1990 г. Сборник статей. Математика. Новое в зарубежной науке, выпуск 48»

МАТЕМАТИКА НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ 48 ТРУДЫ СЕМИНАРА Н. БУРБАКИ за 1990 г. СБОРНИК СТАТЕЙ СЕМИНАР Н. БУРБАКИ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР» Настоящим сборником продолжается издание на русском языке трудов семинара Бурбаки (сборники «Труды семинара Н. Бурбаки за 1988 г. » и «Труды семинара Н. Бурбаки за 1989 г. » были выпущены в 1990 г. и 1991 г. соответственно). На этом семинаре уже более 40 лет заслушиваются и обсуждаются все важнейшие достижения и математические идеи последнего времени. В настоящий сборник включены доклады, сделанные на семинаре в ноябре 1989 г. и в марте-июне 1990 г. Они посвящены новейшим достижениям в различных областях математики: алгебраическая топология-доклад Атьи об инвариантах узлов и доклад Картье о группах кос; комбинаторная теория групп-доклад о гиперболических группах Гиса; эргодическая теория-доклад Тувено о почти сходимости эргоди- ческих средних; статистическая физика-доклад Петерса об алгебраических кривых Ферми и т. д. Пользуясь случаем, хочу выразить благодарность проф. Ж. -М. Кантору (Французское математическое общество) за помощь при подготовке настоящего издания, а также ряду авторов, любезно прочитавших рукописи переводов своих статей и приславших свои замечания. В. А. Васильев ИНВАРИАНТЫ ДЖОНСА-ВИТТЕНА ДЛЯ УЗЛОВ1» М. Атья 1. ВВЕДЕНИЕ Одним из наиболее замечательных достижений последних лет явилось исследование инвариантов узлов, начатое В. Джонсом в [2], [3]. У него есть все атрибуты «большой математики»: построены новые простые инварианты, при помощи которых решаются классические проблемы, но при этом используются широчайший круг идей и техника практически из всех разделов математики и физики. Вот перечень областей, существенно вовлеченных в эту теорию к настоящему времени: комбинаторика, представления групп, алгебраическая геометрия, дифференциальные уравнения, дифференциальная геометрия, топология, алгебры фон Неймана. Вдобавок теория продолжает стремительно развиваться, так что ее окончательные рамки все еще не очерчены. В небольшом докладе я смогу лишь очень выборочно представить столь широкое поле исследований. Я остановлюсь только на некоторых его аспектах и вынужден буду опустить технические подробности. Кроме того, я для краткости рассмотрю лишь простейший вариант общей теории (ее полное изложение можно найти в статьях Джонса [3] и Виттена [9]). В 1984 году неожиданно для специалистов по теории узлов В. Джонс построил полиномиальный инвариант VL(q), называемый теперь полиномом Джонса, внешне аналогичный классическому полиному Алек- сандера, но весьма отличающийся от него рядом существенных свойств. В частности, он позволял отличить некоторые узлы от их зеркальных образов. По этой и другим причинам VL{q) оказался весьма эффективным инструментом для теории узлов, благодаря чему удалось доказать старые гипотезы П. Г. Тайта, сформулированные еще в XIX в. Полином Джонса можно плодотворно исследовать с разных точек зрения, и он по-разному обобщался с целью получения дальнейших инвариантов узлов.