Читать онлайн «Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений»

УДК 517. yzb tt Издание осуществлено при поддержке ББК 22. 161. 6 ^ctp>ii Российского фонда фундаментальных ~~ JJ ~~ исследований по проекту 04-01-14070д Колесов А. Ю. , Розов Н. X. Инвариантные торы нели- нелинейных волновых уравнений. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 408 с. — ISBN 5-9221-0515-9. Исследуется проблема аттракторов нелинейных волновых уравнений. Предлагается единый подход к решению вопросов существования и устой- устойчивости инвариантных торов произвольных конечных размерностей, бифур- цирующих из нулевого положения равновесия в окрестности бесконечномер- бесконечномерного вырождения. Полученные результаты применимы к широкому классу краевых задач для уравнений математической физики при изучении много- многочастотных автоволновых процессов и особенностей динамики резонансных гиперболических систем. В качестве одного из примеров проводится строгий анализ периодических колебаний в системе А. А. Витта. Для студентов старших курсов, аспирантов математических и физиче- физических факультетов университетов, специалистов по прикладной математике, теории колебаний. Ил. 17. Библиогр. 89 назв. © ФИЗМАТЛИТ, 2004 ISBN 5-9221-0515-9 © А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов, 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 4 ГЛАВА 1 БИФУРКАЦИИ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРОВ В АБСТРАКТНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 1. Принцип кольца ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14 2. Сохранение инвариантного тора при возмущениях ... ... ... . . 41 3. Общие свойства рассматриваемого класса эволюционных уравнений . 65 4. Основная бифуркационная теорема ... ... ... ... ... ... . . 84 ГЛАВА 2 ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕЛЕГРАФНЫХ УРАВНЕНИЙ 5. Общая теорема о бифуркации инвариантных торов ... ... ... . . 113 6. Влияние квадратичной нелинейности на динамику периодических ре- решений ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 130 7. Метод квазинормальных форм и границы его применимости . ... . . 152 8. Особенности динамики нелинейного волнового уравнения в плоской области ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 160 9. Многочастотный параметрический резонанс в нелинейном волновом уравнении ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 186 ГЛАВА 3 МНОГОЧАСТОТНЫЕ АВТОВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В УРАВНЕНИИ ГИНЗБУРГА^ЛАНДАУ 10. Исследование аттракторов в случае отрезка ... ... ... ... ... 204 11. Гипотеза Ландау и ее обоснование ... ... ... ... ... ... . . 233 12. Явление гипербуферности в случае квадрата с условиями Дирихле . . 248 13. Доказательство теоремы 12. 3 ... ... ... ... ... ... ... . . 257 14. Явление гипербуферности в случае граничных условий Неймана . . . 272 ГЛАВА 4 МЕТОД БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЙ НОРМАЛИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ РАДИОФИЗИКИ 15. Общие свойства рассматриваемой математической модели ... ... . 281 16. Обоснование метода бесконечномерной нормализации ... ... ... 293 17. Высокомодовая буферность ... ... ... ... ... ... ... ... 307 ГЛАВА 5 АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ ВИТТА 18. Общие свойства математической модели системы Витта ... ... . . 326 19. Существование и устойчивость периодических решений ... ... . . 340 20. Особенности динамики системы Витта ... ... ... ... ... ... 364 21.