Читать онлайн «Обобщённые функции и действия над ними»

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ВЫПУСК 1 И. М. ГЕЛЬФАНД и Г. Е. ШИЛОВ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ и ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1959 1-1-5-4 АННОТАЦИЯ Теория обобщенных функций — оформившаяся в последние годы область функционального ана- анализа; она возникла в связи с потребностями мате- математической физики и позволила правильно поста- поставить и разрешить ряд классических проблем прикладного значения. В настоящем выпуске рассматриваются главным образом основные понятия теории обобщенных функций, действия над обобщенными функциями и т. д. Первые две главы представляют собой элементарное введение в эту теорию. Третья глава не- несколько труднее для чтения и содержит более специальный материал. Выпуск рассчитан на науч- научных работников в различных областях матема- математики, физики и смежных наук, на аспирантов и студентов (математиков и физиков) старших курсов университетов. Он будет также интересен и полезен для инженеров. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Предисловие ко второму изданию первого выпуска 11 Глава I ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ § 1. Основные и обобщенные функции 13 1. Вводные замечания A3). 2. Основные функции A4). 3. Обобщенные функции A5). 4. Локальные свойства обоб- обобщенных функций A8). 5. Операции сложения и умноже- умножения на число и на функцию B0). 6. Сдвиги, повороты и дру- другие линейные преобразования в области независимых пе- переменных B1). 7. Проблема регуляризации расходящихся интегралов B4). 8. Предельный переход B7). 9. Комп- Комплексные основные1 и обобщенные функции C0). 10. Другие основные пространства C1). § 2. Дифференцирование и интегрирование обобщенных функций . . , . 33 1. Основные определения C3). 2. Примеры для случая функций одного независимого переменного C7). 3. При- Примеры для случая функций нескольких независимых пере- переменных D4). 4. Дифференцирование как непрерывная операция D7). 5. Дельта-образные последователь- последовательности E2). 6. Дифференциальные уравнения с обобщен- обобщенными функциями E8). 7. Дифференцирование в прост- пространстве S F3). § 3. Регуляризация функций со степенными особенностями 64 1. Постановка вопроса F4). 2. Обобщенные функции х^_ и х\ F8). 3. Четная и нечетная комбинации функций х+ и х\ G2). 4. Неопределенные интегралы от функций х | sgn х G6). 5. Нормировка функций хх хх хх+, хх_, \х\х, | . к |х sgn л: G8). 6. Обобщенные функции ОГЛАВЛЕНИЕ (х + Ю)х и (х — Ю)х (83). 7. Каноническая регуляриза- регуляризация (85). 8. Регуляризация других интегралов (91). 9. Обоб- Обобщенная функция г* (98). 10. Разложение функции гк на плоские волны A02). 11. Однородные функции A07). § 4. Присоединенные функции 111 1. Присоединенные функцииA11). 2. Разложение функций*^ и х^_ в ряд Тейлора и ряд Лорана A13). 3. Разложение функ- функций |х|*и \х\>- sgn х A19). 4. Функции (д:+Ю)^и {х—Ю)* A23). 5. Разложение функций {х -4- Ю)* и (х — Ш)х в ряд Тейлора A27). 6. Разложение функции гх A29).