Г. Вайникко
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ
ЗАДАЧ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
1982
ТАРТУСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра вычислительной математики
Г. Вайникко
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ
ЗАДАЧ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования Эстонской ССР в качестве учебного пособия
для студентов математического факультета
ТАРТУ 1982
Утверждено на заседании совета математического
факультета ТГУ 4 октября 1982 года. © Тартуский государственный университет, 1982
Предисловие
Настоящее издание представляет собой учебное пособие по
главе спецкурса "Некорректно поставленные задачи" f который
в Тартуском госуниверситете читается для 1У курса
математиков-прикладников. Оно полезно и для аспирантов и
специалистов в данной области, так как охватывает свежие материалы,
разбросанные в журнальной литературе и тезисах конференций. С содержанием работы можно ознакомиться по оглавлению. Дадим краткое резюме. Мы с единой точки зрения исследуем
широкий класс методов регуляризации линейных некорректно
поставленных задач в гильбертовых пространствах. Свда
включаются методы Тихонова, Лаврентьева, разные итерационные
схемы и пр. Много внимания уделяется принципу невязки
выбора параметра регуляризации, а также оценкам погрешности
приближенных решений. Выяснено, что ввделенный класс методов
имеет оптимальный порядок на классах истокопредставимых
решений. Рассмотрения проводятся в ситуации, когда неточно
известен не только свободный член, но и оператор решаемого
уравнения. Подобная ситуация наиболее естественна для
приложений, ибо неточности в операторе неизбежны - они
вызываются приближенностью математических моделей исследуемых
явлений, а также дискретизацией задачи в стадии ее
подготовки для решения на ЭВМ. В основной текст мы включили минимум ссылок. Библиографические замечания см. в конце работы.
3
Оглавление
Предисловие 3
Введение: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕКОРРЕКТНО
ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ 7
O. I. Корректно и некорректно поставленные
задачи 7
0. 2. Понятие о регуляризаторе 8
0. 3. Оптимальные и оптимальные по порядку
метода II
§ I. ПОСТРОЕНИЕ КМССА МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ
НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ 15
1. 1. Решаемая задача 15
1. 2.
Класс методов для задачи с
самосопряженным неотрицательным оператором • • 16
1»3. Класс методов в случае необязательно
неотрицательных операторов 17
1. 4. Класс методов для несамосопряженной
задачи 18
1. 5. Комментарии, замечания, дополнения. • 18
1. 6. Другие возможности симметризации
задачи 20
1. 7. Один способ построения семейства
функций д,г 22
1. 8. Повышение квалификации методов . . . 22
1. 9. Класс итерационных методов 23
IJ0. Операторная, форма итераций 25
§ 2. ПРИМЕРЫ МЕТОДОВ 26
2. 1. Случай задачи с самосопряженным
неотрицательным оператором 26
2. 2» Случай задачи с самосопряженным
(необязательно неотрицательным)
оператором 28
2*3. Случай несамосопряженной задачи . • • 31
2,4, Замечания и дополнения 32
4
§ 3.