Читать онлайн «Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел»

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕП ИВАНОВ Г. В. волчковю. м. ВОГУЛЬСКИЙ И. О. АНИСИМОВ С. А. КУРГУЗОВ В. Д. ВВЕДЕНИЕ Численное решение неодномерных задач динамики деформируемых тел связано с немалыми трудностями, которые определяются сложностью реологической модели среды, существенной нелинейностью задачи и т. д. Проблемы возникают даже при численном решении линейных задач — задач деформирования линейных упругих тел при малых деформациях. Они обусловлены или большой размерностью задачи, или необходимостью ее решения в специальных криволинейных системах координат, или иными требованиями, или всеми этими обстоятельствами одновременно. Особые трудности вызывает численное моделирование задач, в решении которых имеются поверхности разрывов. Потребность в создании эффективных численных алгоритмов, описывающих нестационарные процессы, определяется как необходимостью повысить точность расчетов, так и невозможностью в большинстве случаев решить поставленную задачу аналитическими методами. Повышение точности схем для численного интегрирования квазилинейных систем дифференциальных уравнений гиперболического типа, к которым сводятся задачи, описывающие нестационарные процессы в твердых телах, зачастую вступает в противоречие с качеством численного решения. К примеру, использование линейных разностных схем с порядком аппроксимации выше первого приводит к появлению у решения не имеющих физического смысла осцилляции в окрестностях разрывов. Другие алгоритмы могут порождать аналогичные эффекты у границ расчетной области. Как правило, монотонность схемы обеспечивается явным или неявным формированием искусственной диссипации. Для широкого класса прикладных задач наличие в алгоритме искусственной вязкости вполне приемлемо и позволяет удовлетворительно не только качественно, но и количественно описать реальные процессы, если имеется возможность выполнить расчеты на достаточно мелкой сетке. Однако существует ряд задач, для которых требования к точности решения оказываются достаточно жесткими. Одной из таких задач, например, является прямая задача сейсмики, характерной особенностью которой можно считать достаточно малую зону действия источника возмущений по сравнению с масштабами всей расчетной области. Кроме того, сильно осциллирующий характер источника накладывает ограничения на шаг по времени, что, в свою очередь, приводит к необходимости достаточно мелкой дискретизации пространства. Для решения задач сейсмики обычно применяется полуаналитический метод, основанный на сведении исходной многомерной задачи к семейству одномерных краевых задач с последующим восстановлением решения [4, 154]. При решении этих задач классическими разностными схемами встречаются серьезные трудности. Анализ задачи и тестовые расчеты показывают, что численное решение такого рода задач с применением разностной схемы принципиально возможно только в том случае, если при построении алгоритма были выполнены следующие условия: • алгоритм дает монотонное решение и, в частности, не искажает его в окрестности оси симметрии при решении задачи в осесим- метричной постановке; • метод допускает естественную формулировку физических краевых условий (отсутствуют сложности, связанные с введением фиктивных слоев, и т.