Читать онлайн «Естественная геометрия сеймейств вероятностных законов»

Е. А. Морозова, Н. Н. Ченцов ЕСТЕСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕМЕЙСТВ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАКОНОВ (Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. ВИНИТИ, 1991. т. 83. С. 133-265) Рассматривается дифференциальная геометрия многообразий вероятностных мер, инвариантная относительно категории статистических решающих правил (марковских морфизмов), которая дает естественный язык как описания статистической модели — априорной информации о статистическом эксперименте, так и построения оптимальных методов обработки данных такого эксперимента. Показано, что средняя информация, содержащаяся в смысле Фишера в выборке, является монотонным инвариантом вышеуказанной категории, аддитивным относительно функтора тензорного умножения распределений. Выяснена некорректность задачи статистической точечной оценки, как обратной задачи теории вероятностей, при полном отсутствии априорной информации о многообразии распределений вероятностей исходов наблюдаемого случайного явления. Прослежены многочисленные аспекты приложения к статистическим моделям геометрического языка всех уровней, включая несимметричную пифагорову геометрию в задаче проверки простых гипотез, геометрию гладких многообразий с двумя сопряженными инвариантными линейными связностями в параметрической статистике, и теорию информационных поперечников по Колмогорову в вопросах статистического оценивания гладких кривых. Содержание § 0. Введение. Исторические замечания 133 § 1. Задача статистической точечной оценки как обратная задача теории 140 вероятностей § 2. Категория статистических решающих правил и эквивалентность 144 статистических экспериментов § 3. Инварианты пары распределений вероятностей и информационные 153 количества § 4. Задача различения нескольких простых гипотез 161 § 5. Аддитивный инвариантный тензор информации Фишера 167 § 6. Инвариантные линейные связности в многообразиях распределений 172 вероятностей § 7. Канонические экспоненциальные семейства распределений 181 вероятностей § 8. Несимметричная пифагорова геометрия информационных количеств 190 § 9. Параметрическая задача статистического оценивания. Неравенство 195 информации § 10. Параметрическая задача статистического оценивания. Интегральное 208 неравенство информации §11. Параметрическая задача статистического оценивания. 226 Асимптотически оптимальные оценки § 12. Бесконечномерные квазиоднородные многообразия распределений 240 вероятностей. Информационные поперечники § 13. Геометризация статистической теории (краткий библиографический 256 обзор Литература 957 Именной указатель 270 Предметный указатель 272 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Абу-Жауд (Abou-Jaoude S. ) 143, 259 Айрленд (Irelend С. Т. ) 257, 263 Амари (Amari S. -i. ) 134, 137, 138, 139, 140, 161, 167, 173, 174, 179, 180, 190, 191, 196, 248, 249, 256, 257, 259, 263 Барндорф-Нильсен(Вагпёог51"-№е18еп О. Е. ) 140, 161, 232, 257, 259, 260 Басу (Basu D. ) 232, 260 Бегэн (Begun J. M. ) 160, 260 Беран (Beran R. ) 135, 260 Беркхолдер (Burkholder D. ) 150, 261 Бикел (Bickel P.