Читать онлайн «Теория размерности»

DIMENSION THEORY by WITOLD HUREWICZ a;id HENRY WAI. LMAN В. ГУРЕВИЧ и V. ВОЛМЭН ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ Перевод с английского И. А. ВАЙНШТЕЙН под редакцией и с предисловием П. С. АЛЕКСАНДРОВА 19 4 8 Государственное издательство ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Мос к в а ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКСШУ ПЕРЕВОДУ Предлагаемая вниманию читателя книга Гуревича и Волмэна „Теория размерности" является ценным произведением матема- математической литературы как по богатству и свежести материала, значительная часть которого впервые изложена в современном его виде, так и по мастерству изложения, строгого, ясного и в то же время очень компактного. Книга написана доступно, опирается лишь на простейшие свойства метрических пространств и — в последней главе—-на элементарные предложения теории групп. Таким образом, каждый университетский студент 3—4-го курса, интересующийся математическими вопросами теоретико- множественного характера и обладающий некоторой привычкой к применяемым в этих вопросах приемам математической мысли, может с успехом изучать эту книгу и несомненно много выне- вынесет из нее. Чтение книги Гуревича-Волмэна является удобным способом войти в круг идей современной топологии путем изу- изучения одного из наиболее увлекательных отделов этой дисцип- дисциплины, связанного с другими основными частями топологии многочисленными и глубоко идущими нитями. Развитие теории размерности довольно естественно распа- распадается на три периода. К первому периоду относятся три зна- знаменитые статьи, принадлежащие Пуанкаре1), Лебегу3) и Брау- эруs). От статьи Пуанкаре идет сама проблема определения 1) Pourquoi l'espace a trois dimensions? Revue dc Methavhisiqw; el de Morale. 1912. 2) Sur la поп applicability de deux domaines appartenant a des espa- ces de n et n-f/> dimensions, Math. Ann. 70 A911). л) Uber den naltirliehc Diuiensloiisbe«riff Jnnrn. f. r. u. a. Math. (Crelle), 1913. ¦ ' ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ размерности для достаточно широкого класса точечных мно- множеств, и в ней дан первый набросок индуктивной формы этого определения. В работе Лебега впервые формулируется гениаль- гениальная теорема о том, что я-мерный куб, допускающий, как легко видеть, при всяком е > 0 конечные г-покрытия1) кратности л/ —|— 1, не допускает при достаточно малом е конечных е-по- крытий кратности <Сп~\-1. Однако доказательство, данное Лебегом этой теореме, содержит существенные пробелы и не может считаться удовлетворительным. Первое безукоризненное доказательство было дано Брауэром, так что и самое теорему справедливо назвать теоремой Лебега-Брауэра. В цитирован- цитированной работе Брауэр впервые превращает общие и еще очень расплывчатые идеи Пуанкаре в настоящее математическое опре- определение того, что мы теперь называем индуктивной размер- размерностью, и доказывает, что для «-мерного куба (или, что топо- топологически, конечно, одно и то же — для л-мерного симплекса) индуктивная размерность совпадает с размерностью, определен- определенной посредством кратности покрытий, которая в свою очередь совпадает с элементарно-геометрическим числом измерений.