Читать онлайн «Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Межвузовский сборник»

ПРИКЛАДНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ Методы решения УДК 517. 5+533. 6 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (Сообщение 1) Ф. А. Богашов Нижний Новгород Получены обобщения на трехмерный случай комплексных формул плоского течения жидкости (газа), имеющих многочисленные применения в гидро- и аэродинамике. Работа использует результаты по построению теории регулярных матричных функций (02-потсициалов) матричной комплексной переменной Гамильтона [1-10]. 1. Выражение скорости течения через пространственный комплексный 0-потенциал Будем рассматривать пространственное установившееся течение несжимаемой идеальной жидкости. Как известно [11—13], в случае потенциального движения в объеме D, свободном от источников, вектор скорости V = (v (x,y,z), v (x,y,z), vXx,y,z)) удовлетворяет уравнениям rot*(r) = 0, div\(r)=0, r = (x,y,z) = (x1,yl,zl)(=D. (I) 1. 1. Трехмерный действительный потенциал течения и функции тока. Поскольку движение жидкости потенциальное, то существует скалярная функция u(xyjz)- действительный потенциал скоростей, связанная с вектором скорости V из системы (1) соотношениями - V = grad u{x,y,z), _ди _ди _ди (2) Эх' ; ду' г dz Согласно (2) вектор скорости V в каждой точке течения направлен по нормали к поверхности уровня (эквипотенциальной поверхности) u{x,y,z) = const потенциала скоростей. Из (1)—(2) следует, что дги дги д2и —г + —г + —; Эх2 ду2 dz2 А" = —+ —+ —, (3) то есть в рассматриваемом случае действительный потенциал скоростей является гармонической функцией в области D. Поставим целью построение регулярной в области D матричной функции комплексной переменной Гамильтона К [1—10]: f{K) = Dl;)(ul,u2,u3,0): - и, и, — ш-, (4) Re f(K) = щ(х, у, z)e,Im /(кг) = и2(х, у, z)j + и3(х, у, z)k, для которой потенциал u{x,y^Z) рассматриваемого течения является действительной частью, то есть u(x,y,z) = и (х,у^). Определение мнимой части и2 (•) j + и3 (-)к , регулярной в D из (4), осуществляется решением системы Моисила—Теодореску (МТ): Эы, ди2 Эы3 _п Эх ду dz ди2 Эм, _ Эх ду дщ Эм, Эх dz дщ дщ ду dz = 0, = 0 (5) В работах [1,4,5,8,9] показано, что действительные функции м,(г), «2(г), «3(г) являются сопряженными гармоническими функциями, то есть каждая из них удовлетворяет уравнению Лапласа (3) и условиям ортогональности (gradw,, gradM2) = 0, ->l->2->3->, -> ы, -»и2 -» щ -». Отсюда следует, что поверхности уровня щ(х,у,2) = С«\ u2(x,y,z) = C™, щ(х,у,2)=С™, ше!+ (6) действительной и мнимой частей регулярной функции (4) взаимно ортогональны. В отличие от плоского случая (рис. 1, [И—13]), когда в качестве функции тока выступает одна функция и2(х,у), в трехмерном случае необходимо рассматривать две функции - щ(х,у) и и3(х,у), которые формируют (рис. 2) поверхности сечения трубки тока - ABB А и DCC7D или S. и 5. в системах координат (и. , К,, и ) или {x,yjz) соответственно. М2 L2 L, щ=с[п V И Л «,=с<'> „2=cf и^С» и,= С- «,= С\ а) На рис. 1 изображено: а) - декартова сетка (и{, и,) линий тока {L ,) и эквипотенциальных линий (у( 2), плоская трубка тока - горизонтальная полоса, ограниченная линиями L — с расходом жидкости С'2) —С\2^', Ь) — криволинейная ортогональная сетка тех же линий в системе (х, у); с) — пример простейшего комплексного потенциала j[z) = az, а = а, + ш„ z = х + iy, и{(х,у) = а. х - ау, up. ,у) = а2х + а{у, tgcc = -ajav Трубка тока в малом является цилиндрической поверхностью, сформированной поверхностями уровня (6), с направляющей L: {u2(x,y,z) = C™,ih(x,y,z)=C{:)} -rffli и образующими, представляющими собой линии тока. Отметим, что понятие "трубка тока" более естественно для пространственного случая, чем для плоского (ср.