Читать онлайн «Многоликий хаос»

Ε. Φ. Мищенко, В. А. Садовничий, Α. Ю. Колесов, Н. X. Розов МНОГОЛИКИЙ ХАОС ВВЕДЕНИЕ Имеющуюся к настоящему времени монографическую литературу, затрагивающую так или иначе тему сложной динамики и хаоса, с некоторой долей условности можно разделить на два класса. К первому из них отнесем совокупность книг "физической" направленности. В этих книгах, как правило, описывается ряд эвристических или полуэвристических критериев существования хаоса, связанных с наличием положительного ляпуновского показателя, непрерывностью спектра, дробностью какой-либо размерности, убыванием корреляций, наличием бесконечной серии бифуркаций удвоения периода и т. д. Рассматриваются также конкретные примеры динамических систем, для которых на основании одного из перечисленных или какого-либо иного критерия делается вывод о существовании странного аттрактора. Типичными представителями физической литературы по хаосу являются книги [1-12] и обзор [13]. Разумеется, этот список далеко не полон. Обширную библиографию работ такого рода можно найти в [4, 5]. Наряду с физическими критериями хаотичности существует и ряд строгих математических разработок на эту тему. Однако соответствующие результаты весьма абстрактны и относятся к аттракторам, которые в той или иной степени обладают свойством гиперболичности (равномерной, сингулярной, частичной и т. д. ) или же каким-либо из свойств перемешивания. Принимая во внимание данные обстоятельства, будем считать, что второй класс книг по хаосу состоит из математической литературы, посвященной теории бифуркаций, теории динамических систем с гиперболическим поведением и эргодической теории. Ни коим образом не претендуя на полноту, среди математической литературы по хаосу отметим монографии [14-24] и обзорные статьи [25, 26]. Настоящая книга в рамках описанной выше условной классификации занимает промежуточное место. Данный факт отнюдь не случаен, поскольку на наш взгляд подход к развитию теории хаоса на стыке "физической" и "математической" парадигм нелинейной динамики является весьма плодотворным. Доказательством тому может служить предлагаемая читателю монография, в которую, руководствуясь сформулированным принципом, мы включили как строгие математические результаты, так и ряд естественнонаучных положений, проверяющихся с помощью численных экспериментов. Монография состоит из семи глав. В главе 1, базирующейся на работах [27, 28], дается новое определение хаотического инвариантного множества для непрерывного полупотока в метрическом пространстве. Предлагаемое нами определение обобщает известное определение Девани и позволяет обнаружить принципиально новый тип хаотического поведения, реализующийся в некомпактном и бесконечномерном случае, - так называемый турбулентный хаос. Содержательность этого феномена иллюстрируется на конкретном примере, допускающем строгий математический анализ. А именно, исследуется некоторая бесконечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнении, имеющая аттрактор, хаотический в смысле нового определения, но не являющийся таковым по Девани или Кнудсену.