Читать онлайн «Курс математического анализа. Том 1»

Предисловие в предлагаемом курсе математического анализа излагаются как традиционные классические методы, так и современные, которые возникли в последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксиоматически. Этот путь дает возможность наиболее компактно и полно изложить необходимые для анализа сведения о числах. Вместе с тем он и логически наиболее соверпхенен, поскольку при других, так называемых «конструктивных», методах построения теории действительных чисел (когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби, или сечения в области рациональных чисел, или классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому суш;ествования (непротиворечивости) множества действительных чисел, без которых проводимые построения не имеют логически завер- niennoro характера. Поэтому прош;е всего сразу, исходя из аксиоматического задания действительных чисел, перейти к изучению математического анализа в собственном смысле слова. В основном изложение материала в курсе ведется индуктивным методом: по возможности все вводимые понятия изучаются сначала в простейп1их ситуациях и лип1ь после обстоятельного их рассмотрения и накопления достаточного числа конкретных примеров производятся дальнейп1ие обобш;ения. Так, например, понятие предела сначала изучается для числовых последовательностей, затем для функций одного действительного переменного, далее вводится понятие предела отображения по множеству в евклидовом пространстве, предела интегральных сумм и, наконец, все заверп1ается рассмотрением обш;его понятия предела по фильтру в топологическом пространстве. Формула Тейлора рассматривается сначала для действительнозначной функции на отрезке, а в конце курса — для отображений линейных нормированных пространств: рассмотрение многочисленных критериев Konin суш;ествования тех или иных пределов заверпхается критерием Konin суш;ествования предела по фильтру отображения в полное метрическое пространство; изучение рядов Фурье начинается с рассмотрения классических тригонометрических рядов и заканчивается изучением рядов Фурье в гильбертовых пространствах по ортогональным системам; свойства непрерывных функций на отрезках обобш;аются на отображения метрических компактов и континуумов и т. д. Доказываемые теоремы не всегда формулируются с на- ибольп1ей обш;ностью; иногда для лучпхего выявления суш;- ности изучаемого вопроса и идеи излагаемого доказательства рассмотрение проводится лип1ь для достаточно гладких функций. Такая точка зрения оправдана также тем, что, в силу плотности гладких функций в соответствуюш;их функциональных пространствах, многие теоремы, доказанные для гладких функций, могут быть единым методом с по- мош;ью предельного перехода перенесены на более п1ирокие классы функций. К сожалению, эту идею невозможно довести до конца без суш;ественного увеличения объема книги. Поэтому вопрос о плотности «xoponiHx» функций в различных функциональных пространствах рассмотрен в курсе лип1ь в простейп1их случаях.