Читать онлайн «Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения»

УДК 519. 6 ББК 22. 19 B3I Рецензенты кафедра математического моделирования систем и процессов Пермского государственного технического университета (зав. кафедрой — д-р физ. -мат. наук, проф. П. В. Трусов); кафедра вычислительной математики Удмуртского государственного университета (зав. кафедрой — д-р физ. -мат. наук, проф. Г. Г. Исламов); д-р физ. -мат. наук, проф. Н. В. Азбелев ISBN 5-06-003982-Х О ГУП «Издательство «Высшая школа», 2001 Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая школа» и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запрещено. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 6 Глава 1. Полиномиальная интерполяция §1. 1. Задача и способы аппроксимации функций 8 § 1. 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 11 § 1. 3. Интерполяционная схема Эйткена 20 § 1. 4. Конечные разности 26 § 1. 5. Конечноразностные интерполяционные формулы 32 § 1. 6. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов 45 § 1. 7. Обратное интерполирование 51 § 1. 8. Интерполяция с кратными узлами 56 Упражнения 61 Глава 2. Многочлены Чебышева и наилучшие равномерные приближения § 2. 1. Определение и свойства многочленов Чебышева 64 § 2. 2. Интерполяция по чебышевским узлам 69 §2. 3. 0 многочленах наилучших равномерных приближений 72 § 2. 4. 3кономизация степенных рядов 78 Упражнения 82 Глава 3. Метод наименьших квадратов и наилучшие среднеквадратические приближения § 3. 1. Простейшая обработка эмпирических данных методом наименьших квадратов 84 § 3. 2. Обобщенные многочлены наилучших среднеквадратических приближений 92 §3. 3. 0 нормальной системе МНК при полиномиальной аппроксимации 96 § 3. 4. Системы ортогональных многочленов 100 § 3. 5. Простая процедура построения системы оротогональных многочленов 103 § 3. 6. Аппроксимация функций многочленами Фурье 106 Упражнения 109 Глава 4. Интерполяционные сплайны § 4. 1. Кусочно-полиномиальная аппроксимация. Линейные фильтры 111 § 4. 2. Определение сплайна. Интерполяционный кубический сплайн дефекта 1 117 § 4. 3. Квадратичный сплайн дефекта 1 125 § 4. 4. Базисные сплайны 133 3 § 4. 5. Эрмитовы (локальные) сплайны 138 Упражнения 144 Глава 5. Численное интегрирование §5. 1. Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы прямоугольников 145 § 5. 2. Семейство квадратурных формул Ньютона-Колеса 151 § 5. 3. Составные квадратурные формулы трапеций и Симпсона 158 § 5. 4. Соотношения между формулами прямоугольников» трапеций и Симпсона 161 § 5. 5. Принцип Рунге практического оценивания погрешностей. Алгоритм Ромберга 163 § 5. 6. Квадратурные формулы Чебышева и Гаусса 167 § 5. 7. Формулы Гауссаг-Кристоффеля 175 § 5. 8. Приемы приближенного вычисления несобственных интегралов 181 Упражнения 187 Глава 6. Аппроксимация производных §6. 1. Вывод формул численного дифференцирования 189 § 6. 2. Остаточные члены простейших формул численного дифференцирования 193 § 6. 3. Оптимизация шага численного дифференцирования при ограниченной точности значений функции 203 Упражнения 208 Глава 7. Методы Эйлера и Рунге-Кутты решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений § 7. 1.