Читать онлайн «Метод неподвижных точек в анализе»

МЕТОД НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК В АНАЛИЗЕ. В. В. Н е м ы ц к и й . § 1. Введение. Теоремы существования в анализе появились с XIX в. , когда, с одной стороны, стали критически пересматривать основные математические факты и, с другой, потребность физических теорий заставляла математиков создавать новые мате­ матические аппараты и давать их обоснования. Коши был первым математиком, который доказал теорему существования для системы диференциальных уравнений с аналитическими правыми частями, т. е. для того класса, который, как казалось тогда, обнимал все случаи, встре­ чающиеся в приложениях. Метод, развитый Коши (метод мажорант, метод пределов), заключается в том, что разыскивают степенной ряд, формально удовлетворяющий данному уравнению, строят некоторое уравнение сравнения, такое, что решение этого уравнения представляет собой сходящийся степенной ряд, коэфициенты которого соответственно больше коэфициентов формального ряда. Этим доказывается сходимость формального ряда, а, следовательно, и существование решения системы. Метод мажорант имеет широкое применение в различных вопросах анализа, и, пожалуй, наиболее блестящие теоремы получены именно таким образом — укажем на теорему Ковалевской о существовании решения системы диферен­ циальных уравнений в частных производных и на теорему Пуанкаре о разло­ жимости решения обыкновенного диференциального уравнения по степеням параметра, входящего в правую часть уравнения. Метод мажорант и до сих пор употребляется при доказательствах различ­ ных теорем существования (см. , например, работу Шаудера, указанную в сноске 3) к стр. 168). Метод мажорант получил в дальнейшем развитие в работах Перрона. Перрон, взяв основную идею Коши об уравнениях сравнения, отказался от ее проведения посредством формальных степенных рядов и пытался в каждом отдельном случае строить последовательность „верхних" и „нижних" функций, между которыми заключено решение заданного уравнения, доказывая затем существование общего предела для этих последовательностей; тем самым до­ казывалось существование решения. Перрон и его последователи, например, у пас в СССР И. Г. Петровский, Н. С. Пискунов и др. , приложили этот метод к доказательству существования решения системы обыкновенных диференциальных уравнений, а также к ряду нелинейных задач для уравнений в частных производных. Как было показано акад. Чаплыгиным, акад. Лузиным и Д. Ю. Пановым, разыскание „верхних,, 142 В. В. ЫЕМЫЦКИЙ и „нижних" функций в ряде случаев может быть выполнено вполне эффективно и служить способом приближенного решения как интегральных, так и диферен- циальных уравнений. Второй метод для доказательства теорем существования был предложен Пикаром; он по настоящее время носит название метода Пикара или метода последовательных приближений. Метод Пикара состоит в том, что мы строим ряд, который должен давать решение, не сразу, как в методе формальных разложений, а постепенно, шаг за шагом, начиная от начальных условий задачи, причем самый способ по­ строения ряда носит характер внесения все новых поправок в уже полученные приближенные результаты.