Читать онлайн «С-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии»

Ю. П. СОЛОВЬЁВ, Е. В. ТРОИЦКИЙ С*-АЛГЕБРЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ Глава 1. С*-алгебры и К-теория 1. 1. Некоторые сведения из гомологической алгебры Пусть к — коммутативное кольцо с единицей. Цепным комплексом fc-модулей называется такая последовательность к-мо- дулей и гомоморфизмов dn d\ ^0 С» : ... —у Сп —у Cn-i —>■ • • • —у С\ —У Со —У С-\ —У ... , что dmdm_i = 0 для всех т. Цепные комплексы, для которых С-п = 0 для всех положительных п, называются положительными. В дальнейшем мы будем рассматривать как правило только положительные цепные комплексы. Элемент х € Сп называется цепью размерности (или степени) щ степень элемента х обозначается обычно через degx или \х\. Циклами называются элементы подмодулей Zn = Кег (dn : Сп —У Сп-\). Границами называются элементы подмодулей Вп — Im (dn+i : Cn+i —У Сп). Из соотношения dd — 0 вытекает, что Вп С Zn. Гомологиями цепного комплекса С*, называются фак- тормодули Яп(С») = Zn/Bn. Класс гомологии цикла х обозначается через [х], или иногда, тем же символом х. Морфизмом комплексов f : С» —у C't называется такое семейство гомоморфизмов fc-модулей /п'-Сп—У С'п, что для каждого п коммутативна диаграмма: п *"ЬП_1 Л. cL-^a Л. -1 n-1- Морфизм цепных комплексов индуцирует отображение гомологии /» : Нп(С*) -¥ Нп(С1). Если /» — изоморфизм, то морфизм / называется цепной эквивалентностью или квазиизоморфизмом. Два морфизма цепных комплексов /, д : С» —¥ С» называются цепно гомотопными, если для каждого п существует такой гомоморфизм hn : Сп —> С'п+1, что ^n+i ^п + ^n-i dn = fn — дп. Семейство h = {hn} называется гомотопией, соединяющей морфизмы fug. Нетрудно показать, что если морфизмы /ид цепно гомотопны, то /, = 5. :Н. (С. )->Н. (Ст). Короткой точной последовательностью комплексов О -»■ С -» С -»■ С" -»■ О называется такая пара морфизмов f : С —> С и g : С —> С", что для каждого п точна последовательность fc-модулей о -». с; -> с„ -». с;' -> о. Точная последовательность комплексов индуцирует каноническую точную последовательность гомологии ... -». Нп(С) -». Я„(С) -»> Нп(С") -> Я„_!(С) -> ->Я„_1(С)->... ->Я0(С")-Ю. Аналогично цепному комплексу можно определить коцепкой ко^тглекс Л-модулей С* • С0 -^-> С1 -^-> -^-> Сп -^-> Cn+1 -^4 где 66 — 0. Его когомологии — это фактормодули Нп(С) = Кег {6 : Сп -»■ Cn+1)/ Im (<5 : С71"1 -> Сп). Имея цепной комплекс, можно получить коцепной комплекс, используя функтор Нот . Пусть С» — некоторый комплекс к- модулей и М — произвольный А-модуль. Положим Сп= Нот k{Cn,M) и 6(f) = (—l)nfd для / G Сп. Легко проверить, что совокупность (Сп, 6) образует коцепной комплекс. Заметим, что положительный коцепной комплекс можно интерпретировать как отрицательный цепной комплекс, полагая С_п = С". Пусть (C. ,d) и (C^d1) — два положительных цепных комплекса модулей над коммутативным кольцом к. Их тензорным произведением называется комплекс (С ®к С'),, определяемый следующим образом. Модуль n-мерных цепей (С ®к C')n имеет вид (С®кС')п = 0 Cp®kC'q, p+q=n а граничный оператор задается формулой d(x ® у) = (d® 1 + 1 ® d')(x ® у) = dx ® у + (-l)'x,i ® dy.